यदि frac{dy}{dx} + 2y tan x = sin x,0

Question

(A) दिया गया रैखिक अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + (2 	an x)y = \sin x$ है। समाकलन गुणक $(I.F.)$ $e^{\int 2 	an x \, dx} = e^{2 \ln|\sec x|} = \sec^2 x

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$\frac{1}{8}$

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(A) दिया गया रैखिक अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + (2 	an x)y = \sin x$ है। समाकलन गुणक $(I.F.)$ $e^{\int 2 	an x \, dx} = e^{2 \ln|\sec x|} = \sec^2 x$ है। दोनों पक्षों को $I.F.$ से गुणा करने पर,$\frac{d}{dx}(y \sec^2 x) = \sin x \sec^2 x = \sec x 	an x$ प्राप्त होता है। दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$y \sec^2 x = \int \sec x 	an x \, dx + C = \sec x + C$ प्राप्त होता है। अतः,$y = \cos x + C \cos^2 x$। दिया गया है कि $y(\frac{\pi}{3}) = 0$,इसलिए $0 = \cos(\frac{\pi}{3}) + C \cos^2(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} + C(\frac{1}{4})$,जिससे $C = -2$ प्राप्त होता है। अतः,$y = \cos x - 2 \cos^2 x$। माना $u = \cos x$। चूँकि $0 $y = u - 2u^2 = -2(u^2 - \frac{1}{2}u) = -2(u - \frac{1}{4})^2 + \frac{1}{8}$। अधिकतम मान $u = \frac{1}{4}$ पर प्राप्त होता है,जो $\frac{1}{8}$ है।

यदि $\frac{dy}{dx} + 2y \tan x = \sin x$,$0 < x < \frac{\pi}{2}$ और $y(\frac{\pi}{3}) = 0$ है,तो $y(x)$ का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए।

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