माना y=y(x) अवकल समीकरण x(1-x^{2}) frac{dy}{d | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $x(1-x^{2}) \frac{dy}{dx} + (3x^{2}-1)y = 4x^{3}$ है।$x(1-x^{2})$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx} + \frac{3x^{2}-1}{x(1-x^

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$-18$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण $x(1-x^{2}) \frac{dy}{dx} + (3x^{2}-1)y = 4x^{3}$ है।$x(1-x^{2})$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx} + \frac{3x^{2}-1}{x(1-x^{2})}y = \frac{4x^{3}}{x(1-x^{2})}$ प्राप्त होता है।यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{3x^{2}-1}{x-x^{3}}$ और $Q = \frac{4x^{3}}{x-x^{3}}$ है।समाकलन गुणक $IF = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{3x^{2}-1}{x-x^{3}} dx}$ है।माना $t = x-x^{3}$,तो $dt = (1-3x^{2})dx$,इसलिए $P dx = \frac{-(1-3x^{2})}{x-x^{3}} dx = \frac{-dt}{t}$ होगा।अतः,$IF = e^{-\ln|t|} = \frac{1}{|x-x^{3}|}$ प्राप्त होता है। $x>1$ के लिए,$x-x^{3} $IF$ से गुणा करने पर,$\frac{d}{dx} \left( y \cdot \frac{1}{x-x^{3}} ight) = \frac{4x^{3}}{(x-x^{3})^{2}} = \frac{4x^{3}}{x^{2}(1-x^{2})^{2}} = \frac{4x}{(1-x^{2})^{2}}$ प्राप्त होता है।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\frac{y}{x-x^{3}} = \int \frac{4x}{(1-x^{2})^{2}} dx$ प्राप्त होता है। माना $u = 1-x^{2}$,$du = -2x dx$ है।$\frac{y}{x-x^{3}} = -2 \int u^{-2} du = -2(-u^{-1}) + C = \frac{2}{1-x^{2}} + C$ होगा।चूँकि $y(2) = -2$ दिया गया है,$\frac{-2}{2-8} = \frac{2}{1-4} + C \Rightarrow \frac{1}{3} = -\frac{2}{3} + C \Rightarrow C = 1$ प्राप्त होता है।अतः,$\frac{y}{x-x^{3}} = \frac{2}{1-x^{2}} + 1$ होगा।$x=3$ के लिए,$\frac{y}{3-27} = \frac{2}{1-9} + 1 \Rightarrow \frac{y}{-24} = -\frac{1}{4} + 1 = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।इसलिए,$y = \frac{3}{4} 	imes (-24) = -18$ होगा।

माना $y=y(x)$ अवकल समीकरण $x(1-x^{2}) \frac{dy}{dx}+(3x^{2}y-y-4x^{3})=0, x>1$ का हल है,जहाँ $y(2)=-2$ है। तो $y(3)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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