यदि -frac{pi}{4}

Question

(C) दिया गया है,$\cos^{2} x \cdot \frac{dy}{dx} - (	an 2x) y = \cos^{4} x$ $\cos^{2} x$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{dy}{dx} - \left(\

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$y = \frac{1}{2} \left[ \frac{\sin 2x + c}{1 - 	an^{2} x} ight]$

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(C) दिया गया है,$\cos^{2} x \cdot \frac{dy}{dx} - (	an 2x) y = \cos^{4} x$ $\cos^{2} x$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{dy}{dx} - \left(\frac{	an 2x}{\cos^{2} x}ight) y = \cos^{2} x$ यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = -\frac{	an 2x}{\cos^{2} x}$ और $Q = \cos^{2} x$ है। समाकलन गुणक $(I.F.)$ $e^{\int P dx}$ है। $\int P dx = -\int \frac{	an 2x}{\cos^{2} x} dx = -\int \frac{2 	an x}{(1 - 	an^{2} x) \cos^{2} x} dx$. मान लीजिए $	an x = t$,तो $\sec^{2} x dx = dt$. $\int P dx = -\int \frac{2t}{1 - t^{2}} dt = \ln |1 - t^{2}| = \ln |1 - 	an^{2} x|$. अतः,$I.F. = e^{\ln |1 - 	an^{2} x|} = 1 - 	an^{2} x$. व्यापक हल $y \cdot I.F. = \int (Q \cdot I.F.) dx + C$ है। $y(1 - 	an^{2} x) = \int (\cos^{2} x (1 - 	an^{2} x)) dx + C$. $y(1 - 	an^{2} x) = \int (\cos^{2} x - \sin^{2} x) dx + C$. $y(1 - 	an^{2} x) = \int \cos 2x dx + C$. $y(1 - 	an^{2} x) = \frac{\sin 2x}{2} + C$. $y = \frac{1}{2} \left[ \frac{\sin 2x + 2C}{1 - 	an^{2} x} ight]$. $2C$ को $c$ के रूप में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $y = \frac{1}{2} \left[ \frac{\sin 2x + c}{1 - 	an^{2} x} ight]$.

यदि $-\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{4}$ है,तो अवकल समीकरण $\cos^{2} x \cdot \frac{dy}{dx} - (\tan 2x) y = \cos^{4} x$ का व्यापक हल क्या है?

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यदि $y=f(x)$ अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} = x^2 + 3y$, $x > 0$, $y(2) = 4$ का हल है, तो $f(4) = $ ?

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