यदि $\vec{a}=\alpha \hat{i}+\beta \hat{j}+3 \hat{k}$,$\vec{b}=\hat{j}+2 \hat{k}$,और $\vec{c}=3 \hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$ रैखिक रूप से आश्रित सदिश हैं और $\vec{a}$ का परिमाण $\sqrt{14}$ है। यदि $\alpha$ और $\beta$ पूर्णांक हैं,तो $\alpha+\beta=$

यदि $a, b, c$ असमतलीय सदिश हैं और $\lambda$ एक वास्तविक संख्या है,तो $[\lambda(a + b), \lambda^2 b, \lambda c] = [a, b + c, b]$ के लिए

अंतरिक्ष में चार बिंदुओं $A(1, -2, -1)$, $B(4, 0, -3)$, $C(1, 2, -1)$ और $D(2, -4, -5)$ पर विचार करें। यदि $\vec{b} = \vec{AB}$, $\vec{c} = \vec{AC}$ और $\vec{d} = \vec{AD}$ है, तो $\frac{[\vec{b} \times \vec{c}, \vec{c} \times \vec{d}, \vec{d} \times \vec{b}]}{[\vec{b}+\vec{c}, \vec{c}+\vec{d}, \vec{d}+\vec{b}]}$ का मान ज्ञात कीजिए।

सदिश $c \cdot (b+c) \times (a+b+c)$ किसके बराबर है?

एक समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन,जिसकी किनारे $\bar{u}=\hat{i}+\hat{j}+\lambda \hat{k}$,$\bar{v}=\hat{i}+\hat{j}+3 \hat{k}$,और $\bar{w}=2 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ हैं,$1$ घन इकाई है। यदि $\theta$,$\bar{u}$ और $\bar{w}$ के बीच का कोण है,तो $\cos \theta$ का मान है:

$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ सह-आदिम किनारों वाले समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन $3 \text{ घन इकाई}$ है। $(\vec{a} \times \vec{b}), (\vec{a} \times 2\vec{c}), (\vec{b} \times 2\vec{c})$ सह-आदिम किनारों वाले चतुष्फलक (tetrahedron) का आयतन (घन इकाई में) है: