vec{a}, vec{b}, vec{c} सह-आदिम किनारों वाले स | vedclass

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Question

(A) दिया गया है, समांतर षट्फलक का आयतन $|[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]| = 3$ है।$\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ सह-आदिम किनारों वाले चतुष्फलक का आयतन $V = \fr

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$6$

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(A) दिया गया है, समांतर षट्फलक का आयतन $|[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]| = 3$ है।$\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ सह-आदिम किनारों वाले चतुष्फलक का आयतन $V = \frac{1}{6} |[\vec{u} \vec{v} \vec{w}]|$ द्वारा दिया जाता है।यहाँ, $\vec{u} = \vec{a} 	imes \vec{b}$, $\vec{v} = 2(\vec{a} 	imes \vec{c})$, $\vec{w} = 2(\vec{b} 	imes \vec{c})$ है।अतः, $[\vec{u} \vec{v} \vec{w}] = [(\vec{a} 	imes \vec{b}) \ (2(\vec{a} 	imes \vec{c})) \ (2(\vec{b} 	imes \vec{c}))] = 4 [(\vec{a} 	imes \vec{b}) \ (\vec{a} 	imes \vec{c}) \ (\vec{b} 	imes \vec{c})]$ है।सर्वसमिका $[(\vec{a} 	imes \vec{b}) \ (\vec{b} 	imes \vec{c}) \ (\vec{c} 	imes \vec{a})] = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}]^2$ का उपयोग करने पर, $[(\vec{a} 	imes \vec{b}) \ (\vec{a} 	imes \vec{c}) \ (\vec{b} 	imes \vec{c})] = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}]^2$ प्राप्त होता है।इसलिए, $[\vec{u} \vec{v} \vec{w}] = 4 [\vec{a} \vec{b} \vec{c}]^2 = 4 	imes (3)^2 = 4 	imes 9 = 36$ है।चतुष्फलक का आयतन $V = \frac{1}{6} 	imes 36 = 6 	ext{ घन इकाई}$ है।

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शून्यतर सदिशों $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ के लिए,प्रतिबंध $|(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}| = |\vec{a}||\vec{b}||\vec{c}|$ तभी और केवल तभी सत्य है जब:

यदि एक चतुष्फलक के शीर्ष $\vec{a} = \vec{j} + 2\vec{k}$,$\vec{b} = 3\vec{i} + \vec{k}$,$\vec{c} = 4\vec{i} + 3\vec{j} + 6\vec{k}$ और $\vec{d} = 2\vec{i} + 3\vec{j} + 2\vec{k}$ हैं,तो इसका आयतन ज्ञात कीजिए।

यदि $\vec a = 2\sin \theta \hat i - \hat j + 2\hat k$,$\vec b = 2\hat i + 2\sin \theta \hat j - \hat k$ और $\vec c = 4\hat i + \hat j + 4\cos^2 \theta \hat k$ समतलीय हैं,तो $\theta$ का मान क्या हो सकता है?

यदि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ असमतलीय सदिश हैं और $(\vec{a} - \lambda \vec{b}) \cdot (\vec{b} - 2\vec{c}) \times (\vec{c} + 2\vec{a}) = 0$ है,तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

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