यदि $a(\alpha \times \beta)+b(\beta \times \gamma)+c(\gamma \times \alpha)=0$ और अदिश $a, b, c$ में से कम से कम एक अशून्य है,तो सदिश $\alpha, \beta, \gamma$ हैं

यदि $\overline{u}, \overline{v}$ और $\overline{w}$ तीन असमतलीय सदिश हैं,तो $(\bar{u}+\bar{v}-\bar{w}) \cdot [(\bar{u}-\bar{v}) \times (\bar{v}-\bar{w})]$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि एक चतुष्फलक,जिसके शीर्ष $A(1, 2, 3)$,$B(-3, -1, 1)$,$C(2, 1, 3)$ और $D(-1, 2, x)$ हैं,का आयतन $\frac{11}{6}$ घन इकाई है,तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि बिंदुओं $A, B, C$ और $D$ के स्थिति सदिश $5\hat{i}+5\hat{j}+2\lambda\hat{k}$,$\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}$,$-2\hat{i}+\lambda\hat{j}+4\hat{k}$ और $-\hat{i}+5\hat{j}+6\hat{k}$ हैं। मान लीजिए समुच्चय $S = \{\lambda \in \mathbb{R} : \text{बिंदु } A, B, C \text{ और } D \text{ समतलीय हैं}\}$. तो $\sum_{\lambda \in S}(\lambda+2)^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $[\bar{a} \quad \bar{b} \quad \bar{c}]=4$ है,तो $\bar{a}+2 \bar{b}$,$\bar{b}+2 \bar{c}$,और $\bar{c}+2 \bar{a}$ किनारों वाले समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन क्या होगा?

यदि $a, b, c$ ऐसे सदिश हैं कि $[a, b, c] = 4$,तो $[a \times b, b \times c, c \times a] = $