यदि $P=(2,-3,4)$,$Q=(-1,-4,0)$,और $R=(2,1,0)$ तीन बिंदु हैं,और $S$,$R$ से रेखा $PQ$ पर खींचे गए लंब का पाद है,तो $S$ का $X$-निर्देशांक ज्ञात कीजिए:

रेखा $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z + 3}{-2}$ और समतल $x + y + 4 = 0$ के बीच का कोण ......... $^o$ है।

मान लीजिए $L_1$ समीकरणों $2x+3y+z=4$ और $x+2y+z=5$ द्वारा दिए गए समतलों की प्रतिच्छेदन रेखा है। मान लीजिए $L_2$ बिंदु $P(2,-1,3)$ से गुजरने वाली और $L_1$ के समानांतर रेखा है। मान लीजिए $M$ समीकरण $2x+y-2z=6$ द्वारा दिया गया समतल है। मान लीजिए कि रेखा $L_2$ समतल $M$ से बिंदु $Q$ पर मिलती है। मान लीजिए $R$,$P$ से समतल $M$ पर खींचे गए लंब का पाद है। तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?
$(A)$ रेखाखंड $PQ$ की लंबाई $9\sqrt{3}$ है
$(B)$ रेखाखंड $QR$ की लंबाई $15$ है
$(C)$ $\triangle PQR$ का क्षेत्रफल $\frac{3}{2}\sqrt{234}$ है
$(D)$ रेखाखंड $PQ$ और $PR$ के बीच का न्यून कोण $\cos^{-1}\left(\frac{1}{2\sqrt{3}}\right)$ है

यदि बिंदु $P(43, \alpha, \beta), \beta < 0$ की रेखा $\vec{r} = 4\hat{i} - \hat{k} + \mu(2\hat{i} + 3\hat{k}), \mu \in R$ से, $3, -1, 0$ दिक-अनुपात वाली रेखा के अनुदिश दूरी $13\sqrt{10}$ है, तो $\alpha^{2} + \beta^{2}$ का मान . . . . . . है।

रेखा $\frac{x+1}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-3}{-2}$ और समतल $x-2y-\lambda z=3$ के बीच का कोण $\cos^{-1}\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)$ है,तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि बिंदु $P(1, 1, 1)$ से गुजरने वाली एक रेखा $L$, रेखाओं $\frac{x-4}{4}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{1}$ और $\frac{x-17}{1}=\frac{y-71}{1}=\frac{z}{0}$ के लंबवत है। मान लीजिए कि रेखा $L$, $yz$-समतल को बिंदु $Q$ पर काटती है। $L$ के समानांतर और बिंदु $S(1, 0, -1)$ से गुजरने वाली एक अन्य रेखा $yz$-समतल को बिंदु $R$ पर काटती है। तब समांतर चतुर्भुज $PQRS$ के क्षेत्रफल का वर्ग . . . . . . के बराबर है।