यदि x_n = cos frac{pi}{2^n} + i sin frac{pi}{ | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि $x_n = \cos \frac{\pi}{2^n} + i \sin \frac{\pi}{2^n} = e^{i \frac{\pi}{2^n}}$.हमें अनंत गुणनफल $\prod_{n=1}^{\infty} x_n = \prod_{n

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$-1$

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(A) दिया गया है कि $x_n = \cos \frac{\pi}{2^n} + i \sin \frac{\pi}{2^n} = e^{i \frac{\pi}{2^n}}$.हमें अनंत गुणनफल $\prod_{n=1}^{\infty} x_n = \prod_{n=1}^{\infty} e^{i \frac{\pi}{2^n}}$ का मूल्यांकन करना है।घातांक के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$\prod_{n=1}^{\infty} e^{i \frac{\pi}{2^n}} = e^{i \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\pi}{2^n}}$.घातांक एक गुणोत्तर श्रेणी है: $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\pi}{2^n} = \pi \left( \frac{1/2}{1 - 1/2} \right) = \pi \left( \frac{1/2}{1/2} \right) = \pi$.अतः,गुणनफल $e^{i \pi}$ है।यूलर के सूत्र का उपयोग करते हुए,$e^{i \pi} = \cos \pi + i \sin \pi = -1 + 0i = -1$.

यदि $x_n = \cos \frac{\pi}{2^n} + i \sin \frac{\pi}{2^n}$ है,तो $\prod_{n=1}^{\infty} x_n$ का मान ज्ञात कीजिए।

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