यदि z एक सम्मिश्र संख्या इस प्रकार है कि z^2+ | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $z^2+z+1=0$,इसके मूल $z = \omega$ और $z = \omega^2$ हैं,जहाँ $\omega$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है।किसी भी $n$ के लिए जो $3$ से विभाज्

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$4037$

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(A) दिया गया है $z^2+z+1=0$,इसके मूल $z = \omega$ और $z = \omega^2$ हैं,जहाँ $\omega$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है।किसी भी $n$ के लिए जो $3$ से विभाज्य नहीं है,$z^n + \frac{1}{z^n} = \omega^n + \omega^{2n} = -1$ होता है।$n$ जो $3$ से विभाज्य है,उसके लिए $z^n + \frac{1}{z^n} = \omega^{3k} + \omega^{6k} = 1 + 1 = 2$ होता है।योग में कुल $2020$ पद हैं।$n$ जो $3$ का गुणज है,ऐसे पदों की संख्या $\lfloor \frac{2020}{3} floor = 673$ है।$n$ जो $3$ का गुणज नहीं है,ऐसे पदों की संख्या $2020 - 673 = 1347$ है।योग $1347 	imes (-1)^3 + 673 	imes (2)^3 = -1347 + 5384 = 4037$ है।

यदि $z$ एक सम्मिश्र संख्या इस प्रकार है कि $z^2+z+1=0$,तो $\left(z+\frac{1}{z}\right)^3+\left(z^2+\frac{1}{z^2}\right)^3+\left(z^3+\frac{1}{z^3}\right)^3+\ldots+\left(z^{2020}+\frac{1}{z^{2020}}\right)^3=$

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