જો $n \in N$ માટે $(1+x)^n = C_0 + C_1 x + C_2 x^2 + \ldots + C_n x^n$ હોય,તો $C_0 + \frac{C_1}{2} + \frac{C_2}{3} + \ldots + \frac{C_n}{n+1} =$

ધારો કે $S_1 = \sum_{j=1}^{10} j(j-1) \binom{10}{j}$,$S_2 = \sum_{j=1}^{10} j \binom{10}{j}$,અને $S_3 = \sum_{j=1}^{10} j^2 \binom{10}{j}$.
વિધાન $(A) : S_3 = 55 \times 2^9$
કારણ $(R) : S_1 = 90 \times 2^8$ અને $S_2 = 10 \times 2^8$

$r=0, 1, \ldots, 10$ માટે,ધારો કે $A_{r}, B_{r}$ અને $C_{r}$ અનુક્રમે $(1+x)^{10}$,$(1+x)^{20}$ અને $(1+x)^{30}$ ના વિસ્તરણમાં $x^{r}$ ના સહગુણકો દર્શાવે છે. તો $\sum_{r=1}^{10} A_r(B_{10} B_r - C_{10} A_r)$ ની કિંમત શોધો.

જો $c_0, c_1, c_2, \ldots, c_n$ એ $(1+x)^n$ ના વિસ્તરણમાં સહગુણકો દર્શાવતા હોય, તો $c_1 + 2c_2 + 3c_3 + \ldots + nc_n$ ની કિંમત શું થાય?

$\sum_{r=0}^{6} \left({}^{6}C_{r} \cdot {}^{6}C_{6-r}\right)$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?

જો $(1+a)^{n}$ ના વિસ્તરણમાં $a^{r-1}$,$a^{r}$ અને $a^{r+1}$ ના સહગુણકો સમાંતર શ્રેણીમાં હોય,તો સાબિત કરો કે $n^{2}-n(4r+1)+4r^{2}-2=0$.