यदि $(1+x)^n$ के विस्तार में $C_0, C_1, C_2, \ldots, C_n$ द्विपद गुणांक हैं,तो $n=5$ होने पर $\sum_{r=0}^{n} r^3 \cdot C_r$ का मान क्या होगा?

माना $X = 1({ }^{10} C _1)^2 + 2({ }^{10} C _2)^2 + 3({ }^{10} C _3)^2 + \ldots + 10({ }^{10} C _{10})^2$,जहाँ ${ }^{10} C _{ r }$ जहाँ $r \in \{1, 2, \ldots, 10\}$ द्विपद गुणांकों को दर्शाता है। तो,$\frac{1}{1430} X$ का मान है:

यदि $(1 + x)^n = C_0 + C_1x + C_2x^2 + .......... + C_nx^n$ है,तो $C_0^2 + C_1^2 + C_2^2 + C_3^2 + ...... + C_n^2$ =

यदि $\sum\limits_{i = 1}^{20} {\left( {\frac{{{}^{20}{C_{i - 1}}}}{{{}^{20}{C_i} + {}^{20}{C_{i - 1}}}}} \right)} ^3 = \frac{k}{21}$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

$^{15}C_0^2 - ^{15}C_1^2 + ^{15}C_2^2 - ... - ^{15}C_{15}^2$ का मान क्या है?

$\sum\limits_{r = 0}^m {^{n + r}{C_n} = } $