यदि $\alpha, \beta$ और $\gamma$ एक $\triangle ABC$ के शीर्षलंबों की लंबाई हैं और इसका क्षेत्रफल $\Delta$ है,तो $\frac{\Delta^2}{R^2}\left(\frac{1}{\alpha^2}+\frac{1}{\beta^2}+\frac{1}{\gamma^2}\right)$ का मान क्या होगा?

एक समकोण त्रिभुज में,यदि दो न्यून कोणों के बीच का अंतर $60^{\circ}$ है,तो कर्ण की लंबाई और कर्ण पर सम्मुख शीर्ष से डाले गए लंब की लंबाई का अनुपात क्या है ($: 1$ में)?

एक त्रिभुज में एक कोण $120^{\circ}$ है और भुजाओं की लंबाई समांतर श्रेणी ($A$.$P$.) में है। यदि सबसे बड़ी भुजा की लंबाई $7 \ m$ है,तो त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

एक गैर-समकोण त्रिभुज $\triangle PQR$ में, मान लीजिए $p, q, r$ क्रमशः $P, Q, R$ कोणों के सम्मुख भुजाओं की लंबाई दर्शाते हैं। $R$ से खींची गई माध्यिका भुजा $PQ$ को $S$ पर मिलती है, $P$ से खींचा गया लंब भुजा $QR$ को $E$ पर मिलता है, और $RS$ तथा $PE$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि $p=\sqrt{3}, q=1$, और $\triangle PQR$ के परिवृत्त की त्रिज्या $1$ है, तो निम्नलिखित में से कौन सा/से विकल्प सही है/हैं?
$(1)$ $\triangle SOE$ का क्षेत्रफल $= \frac{\sqrt{3}}{48}$
$(2)$ $\triangle PQR$ के अंतःवृत्त की त्रिज्या $= \frac{\sqrt{3}}{2}(2-\sqrt{3})$
$(3)$ $RS$ की लंबाई $= \frac{\sqrt{7}}{2}$
$(4)$ $OE$ की लंबाई $= \frac{1}{6}$

अभिकथन $(A)$: यदि $A=15^{\circ}, B=17^{\circ}$ और $C=13^{\circ}$ है,तो $\cot 2A + \cot 2B + \cot 2C = \cot 2A \cot 2B \cot 2C$ है।
तर्क $(R)$: एक $\triangle PQR$ में,$\tan \frac{P}{2} \tan \frac{Q}{2} + \tan \frac{Q}{2} \tan \frac{R}{2} + \tan \frac{P}{2} \tan \frac{R}{2} = 1$ होता है।
निम्नलिखित में से सही विकल्प है:

$\Delta ABC$ में,${a^2}({\cos ^2}B - {\cos ^2}C) + {b^2}({\cos ^2}C - {\cos ^2}A) + {c^2}({\cos ^2}A - {\cos ^2}B) = $