यदि $|a| = |b| = 1$ और $|a + b| = \sqrt{3}$ है,तो $(3a - 4b) \cdot (2a + 5b)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $a+b+c=0$ और $|a|=5, |b|=3$ तथा $|c|=7$ है,तो $a$ और $b$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

यदि $\hat{a}, \hat{b}, \hat{c}$ इकाई सदिश हैं,तो $|\hat{a}+\hat{b}|^2+|\hat{b}+\hat{c}|^2+|\hat{c}+\hat{a}|^2$ का न्यूनतम मान क्या होगा?

मान लीजिए कि दो गैर-संरेख इकाई सदिश $\hat{a}$ और $\hat{b}$ एक न्यून कोण बनाते हैं। एक बिंदु $P$ इस प्रकार गति करता है कि किसी भी समय $t$ पर स्थिति सदिश $\overline{OP}$ (जहाँ $O$ मूल बिंदु है) $\hat{a} \cos t + \hat{b} \sin t$ द्वारा दिया जाता है। जब $P$ मूल बिंदु $O$ से सबसे दूर होता है,तो $M$ को $\overline{OP}$ की लंबाई और $\hat{u}$ को $\overline{OP}$ की दिशा में इकाई सदिश मानें। तब,

यदि त्रिभुज $ABC$ के शीर्षों $A, B$ और $C$ के स्थिति सदिश क्रमशः $4\hat{i} + 7\hat{j} + 8\hat{k}$,$2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ और $2\hat{i} + 5\hat{j} + 7\hat{k}$ हैं,तो उस बिंदु का स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए जहाँ कोण $A$ का समद्विभाजक $BC$ से मिलता है।

यदि सदिश $\vec{a} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 6\hat{k}$ और सदिश $\vec{b} = -2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ है,तो $\frac{\text{सदिश } \vec{a} \text{ का सदिश } \vec{b} \text{ पर प्रक्षेप}}{\text{सदिश } \vec{b} \text{ का सदिश } \vec{a} \text{ पर प्रक्षेप}} = $