यदि $a, b, c$ त्रिभुज $ABC$ के शीर्षों के स्थिति सदिश हैं,तो इसके तल के लंबवत इकाई सदिश है:

$2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ सदिश के लंबवत और सदिशों $\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ तथा $2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ के साथ समतलीय इकाई सदिश ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $\overline{a}=\alpha \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}$,$\overline{b}=3 \hat{i}-\beta \hat{j}+4 \hat{k}$ और $\overline{c}=\hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k}$,जहाँ $\alpha, \beta \in R$,तीन सदिश हैं। यदि $\overline{a}$ का $\overline{c}$ पर प्रक्षेप $\frac{10}{3}$ है और $\overline{b} \times \overline{c}=-6 \hat{i}+10 \hat{j}+7 \hat{k}$ है,तो $\alpha^2+\beta^2-\alpha \beta$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\text{यदि } \vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}, \vec{b} = 2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k} \text{ और } \vec{c} = \hat{i} - \hat{j} \text{ तथा यदि } 6\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k} = \lambda_1(\vec{a} \times \vec{b}) + \lambda_2(\vec{b} \times \vec{c}) + \lambda_3(\vec{c} \times \vec{a}) \text{ हो, तो } (\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3) = $

यदि $\vec{a}=\overrightarrow{0}$ या $\vec{b}=\overrightarrow{0}$ है,तो $\vec{a} \times \vec{b}=\overrightarrow{0}$ होता है। क्या इसका विलोम सत्य है? एक उदाहरण देकर अपने उत्तर का औचित्य सिद्ध कीजिए।

किसी भी सदिशों $a, b, c$ के लिए,व्यंजक $a \times (b + c) + b \times (c + a) + c \times (a + b) = $ का मान ज्ञात कीजिए।