જો $a, b, c$ કોઈ પણ ત્રણ અસમતલીય સદિશો હોય,તો $[a + b, b + c, c + a] = $

જો $A, B, C$ અને $D$ અનુક્રમે $(3,7,4), (5,-2,-3), (-4,5,6)$ અને $(1,2,3)$ હોય,તો $AB, AC$ અને $AD$ ને સહ-અંતિમ ધાર તરીકે ધરાવતા સમાંતરફલકનું ઘનફળ .... ઘન એકમ છે.

જો $x$ અને $y$ એવી વાસ્તવિક સંખ્યાઓ હોય કે જેથી $\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$, $-2 \hat{i}+3 \hat{j}+2 \hat{k}$, $x \hat{i}-5 \hat{j}+3 \hat{k}$, અને $\hat{i}+y \hat{j}-\hat{k}$ એ ચાર સમતલીય બિંદુઓના સ્થાન સદિશો હોય, તો $P(x, y)$ નો બિંદુપથ શું છે?

જો $\bar{a}$,$\bar{b}$,અને $\bar{c}$ અસમતલીય સદિશો હોય અને $(\bar{a} + \bar{b} + \bar{c}) \cdot (\bar{a} \times \bar{b} + \bar{b} \times \bar{c} + \bar{c} \times \bar{a}) = k[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]$ હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો.

બિંદુઓ $A(4, 5, 1)$,$B(0, -1, -1)$,$C(3, 9, 4)$ અને $D(-4, 4, 4)$ એ:

જો $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$,અને $\vec{c} = \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ હોય,તો $\left| \begin{matrix} \vec{a} \cdot \vec{a} & \vec{a} \cdot \vec{b} & \vec{a} \cdot \vec{c} \\ \vec{b} \cdot \vec{a} & \vec{b} \cdot \vec{b} & \vec{b} \cdot \vec{c} \\ \vec{c} \cdot \vec{a} & \vec{c} \cdot \vec{b} & \vec{c} \cdot \vec{c} \end{matrix} \right|$ નું મૂલ્ય શોધો.