यदि int frac{cos x}{sqrt{4 sin ^2 x+4 sin x+5 | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int \frac{\cos x}{\sqrt{4 \sin ^2 x+4 \sin x+5}} d x$. $\sin x = t$ प्रतिस्थापित करने पर, $\cos x d x = d t$ प्राप्त होता है। अतः, $I =

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$2 \sin x+1$

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(B) माना $I = \int \frac{\cos x}{\sqrt{4 \sin ^2 x+4 \sin x+5}} d x$. $\sin x = t$ प्रतिस्थापित करने पर, $\cos x d x = d t$ प्राप्त होता है। अतः, $I = \int \frac{d t}{\sqrt{4 t^2+4 t+5}} = \frac{1}{2} \int \frac{d t}{\sqrt{t^2+t+\frac{5}{4}}}$. हर में पूर्ण वर्ग बनाने पर: $t^2+t+\frac{5}{4} = (t+\frac{1}{2})^2 + 1$. इसलिए, $I = \frac{1}{2} \int \frac{d t}{\sqrt{(t+\frac{1}{2})^2 + 1}}$. सूत्र $\int \frac{du}{\sqrt{u^2+a^2}} = \sinh^{-1}(\frac{u}{a}) + C$ का उपयोग करने पर: $I = \frac{1}{2} \sinh^{-1}(t+\frac{1}{2}) + C$. $t = \sin x$ रखने पर, $I = \frac{1}{2} \sinh^{-1}(\sin x + \frac{1}{2}) + C$ प्राप्त होता है। इसकी तुलना $\frac{1}{2} \sinh^{-1}(f(x)) + C$ से करने पर, $f(x) = \sin x + \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है। अतः, $2 f(x) = 2(\sin x + \frac{1}{2}) = 2 \sin x + 1$.

यदि $\int \frac{\cos x}{\sqrt{4 \sin ^2 x+4 \sin x+5}} d x=\frac{1}{2} \sinh ^{-1}(f(x))+C$ है, तो $2 f(x)$ ज्ञात कीजिए।

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