यदि int frac{dx}{(1+sqrt{x}) sqrt{x-x^2}} = f | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int \frac{dx}{(1+\sqrt{x}) \sqrt{x(1-x)}} = \int \frac{dx}{(1+\sqrt{x}) \sqrt{x} \sqrt{1-x}}$.$\sqrt{x} = t$ प्रतिस्थापित करने पर, $x =

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(B) माना $I = \int \frac{dx}{(1+\sqrt{x}) \sqrt{x(1-x)}} = \int \frac{dx}{(1+\sqrt{x}) \sqrt{x} \sqrt{1-x}}$.$\sqrt{x} = t$ प्रतिस्थापित करने पर, $x = t^2$ और $dx = 2t \, dt$ प्राप्त होता है।अतः $I = \int \frac{2t \, dt}{(1+t) t \sqrt{1-t^2}} = 2 \int \frac{dt}{(1+t) \sqrt{(1-t)(1+t)}} = 2 \int \frac{dt}{(1+t)^{3/2} (1-t)^{1/2}}$.दिए गए रूप का अवकलन करने पर, हमें $A=2$ और $B=-2$ प्राप्त होता है।अतः, $A+B = 2 + (-2) = 0$.

यदि $\int \frac{dx}{(1+\sqrt{x}) \sqrt{x-x^2}} = \frac{A \sqrt{x}}{\sqrt{1-x}} + \frac{B}{\sqrt{1-x}} + C$, जहाँ $C$ एक वास्तविक स्थिरांक है, तो $A+B$ का मान ज्ञात कीजिए।

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