यदि I_n = int_{pi / 2}^{infty} e^{-x} cos^n x | vedclass

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Question

(B) हमारे पास $I_n = \int_{\pi / 2}^{\infty} e^{-x} \cos^n x \, dx$ है।खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए, $u = \cos^n x$ और $dv =

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$\frac{2018 	imes 2017}{(2018)^2+1}$

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(B) हमारे पास $I_n = \int_{\pi / 2}^{\infty} e^{-x} \cos^n x \, dx$ है।खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए, $u = \cos^n x$ और $dv = e^{-x} dx$ लेने पर, हमें $du = n \cos^{n-1} x (-\sin x) dx$ और $v = -e^{-x}$ प्राप्त होता है।$I_n = [-e^{-x} \cos^n x]_{\pi / 2}^{\infty} - \int_{\pi / 2}^{\infty} (-e^{-x}) (n \cos^{n-1} x) (-\sin x) dx$$I_n = 0 - n \int_{\pi / 2}^{\infty} e^{-x} \cos^{n-1} x \sin x \, dx$.पुनः खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए, $\int_{\pi / 2}^{\infty} e^{-x} \cos^{n-1} x \sin x \, dx$ के लिए $u = \cos^{n-1} x \sin x$ और $dv = e^{-x} dx$ लेने पर:$I_n = -n [(-e^{-x} \cos^{n-1} x \sin x)_{\pi / 2}^{\infty} - \int_{\pi / 2}^{\infty} (-e^{-x}) ((n-1) \cos^{n-2} x (-\sin^2 x) + \cos^n x) dx]$$I_n = -n [0 + \int_{\pi / 2}^{\infty} e^{-x} (-(n-1) \cos^{n-2} x (1 - \cos^2 x) + \cos^n x) dx]$$I_n = -n [-(n-1) I_{n-2} + (n-1) I_n + I_n]$$I_n = -n [n I_n - (n-1) I_{n-2}]$$I_n = -n^2 I_n + n(n-1) I_{n-2}$$I_n(1 + n^2) = n(n-1) I_{n-2}$$\frac{I_n}{I_{n-2}} = \frac{n(n-1)}{n^2+1}$.$n = 2018$ रखने पर, हमें $\frac{I_{2018}}{I_{2016}} = \frac{2018 	imes 2017}{(2018)^2+1}$ प्राप्त होता है।

यदि $I_n = \int_{\pi / 2}^{\infty} e^{-x} \cos^n x \, dx$ है, तो $\frac{I_{2018}}{I_{2016}} = $

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किसी भी पूर्णांक $n \geq 2$ के लिए,यदि $I_n = \int \cot^n x \, dx$ है,तो $I_5 =$

यदि $\int \frac{2 x^2+5 x+9}{\sqrt{x^2+x+1}} d x=x \sqrt{x^2+x+1}+\alpha \sqrt{x^2+x+1}+\beta \log _{ e }\left| x +\frac{1}{2}+\sqrt{ x ^2+ x +1}\right|+ C$ है,जहाँ $C$ समाकलन स्थिरांक है,तो $\alpha+2 \beta$ का मान . . . . . . है।

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