यदि $y=\sin x+A \cos x$, $\frac{dy}{dx}+f(x)y=\sec x$ का व्यापक हल है, तो अवकल समीकरण का समाकलन गुणक (Integrating Factor) क्या है?

यदि $y=y(x)$ समीकरण $e^{\sin y} \cos y \frac{dy}{dx} + e^{\sin y} \cos x = \cos x$ का हल है,जहाँ $y(0)=0$,तो $1 + y\left(\frac{\pi}{6}\right) + \frac{\sqrt{3}}{2} y\left(\frac{\pi}{3}\right) + \frac{1}{\sqrt{2}} y\left(\frac{\pi}{4}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\cos y + (x \sin y - 1) \frac{dy}{dx} = 0$ का हल है

मान लीजिए $y=f(x)$ अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx}+\frac{xy}{x^2-1}=\frac{x^6+4x}{\sqrt{1-x^2}}$ का हल है,जहाँ $-1 < x < 1$ और $f(0)=0$ है। यदि $6 \int_{-1/2}^{1/2} f(x) dx = 2\pi - \alpha$ है,तो $\alpha^2$ का मान . . . . . . है।

मान लीजिए $y=y(x)$ अवकल समीकरण $(x \cos x) dy + (xy \sin x + y \cos x - 1) dx = 0$,$0 < x < \frac{\pi}{2}$ का एक हल है। यदि $\frac{\pi}{3} y(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$ है,तो $|\frac{\pi}{6} y''(\frac{\pi}{6}) + 2 y'(\frac{\pi}{6})|$ का मान $.........$ है।

अवकल समीकरण $(x + 2y^3) \frac{dy}{dx} = y$ का हल है