જો $a=2u+3v+7w$, $b=u+v-2w$ અને $c=-u-2v-3w$ હોય, તો $\left|\frac{[u, v, w]}{[a, b, c]}\right|(a+b+c) = $

$(\hat{i} \times \hat{j}) \cdot [(\hat{j} \times \hat{k}) \times (\hat{k} \times \hat{i})]$

જો $x, y$ અને $z$ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યાઓ હોય અને $\vec{a}=x \hat{i}+2 \hat{j}, \vec{b}=y \hat{j}+3 \hat{k}$ અને $\vec{c}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}$ એવા હોય કે જેથી $\vec{a} \times \vec{b}=z \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}$ થાય,તો $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $\overrightarrow{OP} = \frac{\alpha-1}{\alpha} \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,$\overrightarrow{OQ} = \hat{i} + \frac{\beta-1}{\beta} \hat{j} + \hat{k}$ અને $\overrightarrow{OR} = \hat{i} + \hat{j} + \frac{1}{2} \hat{k}$ ત્રણ સદિશો છે,જ્યાં $\alpha, \beta \in \mathbb{R} - \{0\}$ અને $O$ એ ઉગમબિંદુ દર્શાવે છે. જો $(\overrightarrow{OP} \times \overrightarrow{OQ}) \cdot \overrightarrow{OR} = 0$ હોય અને બિંદુ $(\alpha, \beta, 2)$ એ સમતલ $3x + 3y - z + l = 0$ પર આવેલું હોય,તો $l$ ની કિંમત શોધો.

જો $\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}$ પરસ્પર લંબ સદિશો હોય અને તેમના માન અનુક્રમે $1, 2, 3$ હોય,તો $[\overline{a}+\overline{b}+\overline{c} \quad \overline{b}-\overline{a} \quad \overline{c}]$ નું મૂલ્ય શોધો.

જેના માટે ચાર બિંદુઓ $2i + 3j - k$,$i + 2j + 3k$,$3i + 4j - 2k$ અને $i - \lambda j + 6k$ સમતલીય હોય તેવી $\lambda$ ની કિંમત શોધો.