यदि $[a, b, c] = 3$ है, तो $2a+b$, $2b+c$ और $2c+a$ किनारों वाले समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन (घन इकाइयों में) क्या होगा?

मान लीजिए $a, b, c$ भिन्न अऋणात्मक संख्याएँ हैं। यदि सदिश $a\hat{i} + a\hat{j} + c\hat{k}$,$\hat{i} + \hat{k}$ और $c\hat{i} + c\hat{j} + b\hat{k}$ एक ही समतल में स्थित हैं,तो $c$ है

उस समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन ज्ञात कीजिए जिसकी सह-आदिम कोर (coterminous edges) सदिश $2i - 3j + 4k$,$i + 2j - 2k$,और $3i - j + k$ द्वारा निरूपित हैं।

यदि $\overline{a}=\hat{i}-\hat{k}$,$\overline{b}=x \hat{i}+\hat{j}+(1-x) \hat{k}$ और $\overline{c}=y \hat{i}+x \hat{j}+(1+x-y) \hat{k}$ है,तो $\overline{a} \cdot(\overline{b} \times \overline{c})$ किस पर निर्भर करता है?

मान लीजिए $\vec{a} = (a_1\hat{i} + a_2\hat{j} + a_3\hat{k})$, $\vec{b} = (b_1\hat{i} + b_2\hat{j} + b_3\hat{k})$, और $\vec{c} = (c_1\hat{i} + c_2\hat{j} + c_3\hat{k})$ तीन शून्येतर सदिश इस प्रकार हैं कि $\vec{a}$, $\vec{b}$ और $\vec{c}$ दोनों के लंबवत एक इकाई सदिश है। यदि $\vec{b}$ और $\vec{c}$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{3}$ है, तो $\left| \begin{matrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{matrix} \right|^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक समांतर षट्फलक (parallelepiped) जिसका सह-अंतस्थ किनारे $2 \overrightarrow{a}, 2 \overrightarrow{b}, 2 \overrightarrow{c}$ हैं,का आयतन क्या है?