જો $f(x) = \sin \log x$ હોય,તો $f(xy) + f\left( \frac{x}{y} \right) - 2f(x) \cos \log y$ ની કિંમત કેટલી થાય?

ધારો કે $N$ એ તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ છે અને $f: N \rightarrow N$ એવું છે કે $1990 < f(1990) < 2100$ અને તે સમીકરણ $x-f(x)=19[\frac{x}{19}]-90[\frac{f(x)}{90}]$ નું સમાધાન કરે છે,જ્યાં $[y]$ એ $y$ થી નાની અથવા તેના જેટલી મહત્તમ પૂર્ણાંક સંખ્યા દર્શાવે છે. તો $f(1990)$ ની શક્ય કિંમતોની સંખ્યા કેટલી છે?

ધારો કે $S = \mathbb{N} \cup \{0\}$. $S$ થી $\mathbb{R}$ પર એક સંબંધ $R$ આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરો: $R = \{(x, y) : \log_e y = x \log_e \left(\frac{2}{5}\right), x \in S, y \in \mathbb{R}\}$. તો,$R$ ના વિસ્તારના તમામ ઘટકોનો સરવાળો કેટલો થાય?

જો $f(x) = 2x$ અને $g$ એ તદેવ વિધેય (identity function) હોય,તો:

જો $f: R \rightarrow [-1, 1]$ અને $g: R \rightarrow A$ બે વ્યાપ્ત વિધેયો હોય અને $\sin \left(g(x) - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{f(x)}{2} \sqrt{4 - f^2(x)}$ હોય,તો $A =$

જો $f: R-\{0\} \rightarrow R$ એ $f(x)=x+\frac{1}{x}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત હોય અને જો $k \geq 1$ માટે $f^k(x)=[f(x)]^k$ હોય,તો $f^4(x)-f(x^4)-4f^2(x)$ ની કિંમત શોધો.