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Question

(A) हम मानक सीमा सूत्र $\mathop {\lim }\limits_{u 	o \infty } (1 + \frac{1}{u})^u = e$ का उपयोग करते हैं।दिए गए व्यंजक $\mathop {\lim }\limits_{x 	o

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$e^{d/b}$

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(A) हम मानक सीमा सूत्र $\mathop {\lim }\limits_{u 	o \infty } (1 + \frac{1}{u})^u = e$ का उपयोग करते हैं।दिए गए व्यंजक $\mathop {\lim }\limits_{x 	o \infty } {\left( {1 + \frac{1}{{a + bx}}} ight)^{c + dx}}$ को हम इस प्रकार लिख सकते हैं:$\mathop {\lim }\limits_{x 	o \infty } {\left[ {\left( {1 + \frac{1}{{a + bx}}} ight)^{a + bx}} ight]^{\frac{c + dx}{a + bx}}}$जैसे $x 	o \infty$,पद $(1 + \frac{1}{a + bx})^{a + bx} 	o e$.अब,घातांक की सीमा का मूल्यांकन करते हैं:$\mathop {\lim }\limits_{x 	o \infty } \frac{c + dx}{a + bx} = \mathop {\lim }\limits_{x 	o \infty } \frac{c/x + d}{a/x + b} = \frac{0 + d}{0 + b} = \frac{d}{b}$.अतः,सीमा का मान $e^{d/b}$ है।

यदि $a, b, c, d$ धनात्मक हैं,तो $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{1}{{a + bx}}} \right)^{c + dx}} = $

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$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{|x|+x^2}$ का मान . है।

$a > 1$ के लिए $\mathop {\text{Limit}}\limits_{x \to \infty } \frac{{\cot ^{ - 1}}\left( {{x^{ - a}}\log _a x} \right)}{{\sec ^{ - 1}}\left( {{a^x}\log _x a} \right)}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $[ \cdot ]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है,तो सीमा का मान ज्ञात कीजिए: $\lim _{x \rightarrow \frac{\pi^{+}}{2}} \frac{[\sin x]-[\cos x]+1}{2}$

यदि $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(e^{k x}-1\right) \sin k x}{x^{2}}=4$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\lim _{x \rightarrow \infty} \left(\frac{x+a}{x+b}\right)^{x}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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