यदि $\vec{\alpha}$ एक इकाई सदिश है, $\vec{\beta}=\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$, और $\vec{\gamma}=\hat{i}+\hat{k}$ है, तो $[\vec{\alpha} \vec{\beta} \vec{\gamma}]$ का अधिकतम मान क्या होगा?

मान लीजिए $O$ मूल बिंदु है। मान लीजिए $\overline{OP} = x\hat{i} + y\hat{j} - \hat{k}$ और $\overline{OQ} = -\hat{i} + 2\hat{j} + 3x\hat{k}$,जहाँ $x, y \in \mathbb{R}$ और $x > 0$,इस प्रकार हैं कि $|\overline{PQ}| = \sqrt{20}$ और सदिश $\overline{OP}$,$\overline{OQ}$ के लंबवत है। यदि $\overline{OR} = 3\hat{i} + z\hat{j} - 7\hat{k}$,जहाँ $z \in \mathbb{R}$,$\overline{OP}$ और $\overline{OQ}$ के साथ समतलीय है,तो $x^2 + y^2 + z^2$ का मान ...... है।

मान लीजिए $\vec{a} = \hat{i} - \hat{k}$,$\vec{b} = x\hat{i} + \hat{j} + (1 - x)\hat{k}$,और $\vec{c} = y\hat{i} + x\hat{j} + (1 + x - y)\hat{k}$ है। तो अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}]$ किस पर निर्भर करता है?

समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन,जिसकी भुजाएं $-12i + \alpha k$,$3j - k$ और $2i + j - 15k$ द्वारा निरूपित हैं,$546$ है। तो $\alpha = $

यदि $3 \hat{i}+3 \hat{j}+\sqrt{3} \hat{k}$,$\hat{i}+\hat{k}$,और $\sqrt{3} \hat{i}+\sqrt{3} \hat{j}+\lambda \hat{k}$ समतलीय हैं,तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

सदिशों $\vec{a} + \vec{b}, \vec{b} + \vec{c}$ और $\vec{c} + \vec{a}$ द्वारा निर्धारित समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन $4$ है। तब सदिशों $\vec{a} \times \vec{b}, \vec{b} \times \vec{c}$ और $\vec{c} \times \vec{a}$ द्वारा निर्धारित समांतर षट्फलक का आयतन क्या होगा?