જો $\alpha, \beta, \gamma$ એ રેખા $x = 4z + 3, y = 2 - 3z$ ના દિક્-ખૂણાઓ (direction angles) હોય, તો $\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma$ ની કિંમત શોધો...

રેખાઓ $\bar{r}=(3 \hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k})+\lambda(\hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k})$ અને $\bar{r}=(5 \hat{i}-2 \hat{k})+\mu(3 \hat{i}+2 \hat{j}+6 \hat{k})$ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.

ધારો કે ત્રિકોણ $PQR$ ના શિરોબિંદુઓ $Q$ અને $R$ એ રેખા $\frac{x+3}{5}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+4}{3}$ પર આવેલા છે. જો $QR=5$ અને બિંદુ $P$ ના યામ $(0,2,3)$ હોય,અને જો ત્રિકોણ $PQR$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{m}{n}$ હોય,તો:

રેખા $x = ay + b$ અને $z = cy + d$ ના સમીકરણનું સંમિત સ્વરૂપ (symmetric form) છે

ધારો કે $O$ એ ઉગમબિંદુ છે,અને $M$ અને $N$ એ રેખાઓ $\frac{x-5}{4}=\frac{y-4}{1}=\frac{z-5}{3}$ અને $\frac{x+8}{12}=\frac{y+2}{5}=\frac{z+11}{9}$ પરના બિંદુઓ છે,જેથી $MN$ એ આપેલી રેખાઓ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર છે. તો $\overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{ON}$ ની કિંમત શોધો.

જો રેખાઓ $\vec{r}_{1}=\alpha \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}+\lambda(\hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k}), \lambda \in R, \alpha>0$ અને $\vec{r}_{2}=-4 \hat{i}-\hat{k}+\mu(3 \hat{i}-2 \hat{j}-2 \hat{k}), \mu \in R$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $9$ હોય,તો $\alpha$ ની કિંમત $.....$ છે.