यदि I = int e^x sin 2x , dx है,तो K के किस मा | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int e^x \sin 2x \, dx$. खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$\int u \, dv = uv - \int v \, du$. माना $u = \sin 2x$ और

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$5$

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(C) माना $I = \int e^x \sin 2x \, dx$. खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$\int u \, dv = uv - \int v \, du$. माना $u = \sin 2x$ और $dv = e^x \, dx$. तब $du = 2 \cos 2x \, dx$ और $v = e^x$.$I = e^x \sin 2x - \int e^x (2 \cos 2x) \, dx = e^x \sin 2x - 2 \int e^x \cos 2x \, dx$.अब,$\int e^x \cos 2x \, dx$ के लिए पुनः खंडशः समाकलन का उपयोग करें। माना $u = \cos 2x$ और $dv = e^x \, dx$. तब $du = -2 \sin 2x \, dx$ और $v = e^x$.$\int e^x \cos 2x \, dx = e^x \cos 2x - \int e^x (-2 \sin 2x) \, dx = e^x \cos 2x + 2 \int e^x \sin 2x \, dx$.इस मान को $I$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:$I = e^x \sin 2x - 2(e^x \cos 2x + 2I) = e^x \sin 2x - 2e^x \cos 2x - 4I$.$I + 4I = e^x(\sin 2x - 2 \cos 2x) + C$.$5I = e^x(\sin 2x - 2 \cos 2x) + C$.इसकी तुलना $KI = e^x(\sin 2x - 2 \cos 2x) + C$ से करने पर,हमें $K = 5$ प्राप्त होता है।

यदि $I = \int e^x \sin 2x \, dx$ है,तो $K$ के किस मान के लिए $KI = e^x(\sin 2x - 2\cos 2x) + C$ होगा?

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$\int x \cos x \, dx$ ज्ञात कीजिए।

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