यदि int_0^k frac{dx}{2 + 8x^2} = frac{pi}{16} | vedclass

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Question

(B) दिया गया समाकलन $\int_0^k \frac{dx}{2 + 8x^2} = \frac{\pi}{16}$ है।हर से $2$ कॉमन लेने पर: $\frac{1}{2} \int_0^k \frac{dx}{1 + 4x^2} = \frac{1}{2}

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$\frac{1}{2}$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया समाकलन $\int_0^k \frac{dx}{2 + 8x^2} = \frac{\pi}{16}$ है।हर से $2$ कॉमन लेने पर: $\frac{1}{2} \int_0^k \frac{dx}{1 + 4x^2} = \frac{1}{2} \int_0^k \frac{dx}{1 + (2x)^2}$.माना $t = 2x$,तब $dt = 2dx$ या $dx = \frac{dt}{2}$. जब $x=0, t=0$ और जब $x=k, t=2k$.समाकलन इस प्रकार होगा: $\frac{1}{2} \int_0^{2k} \frac{dt/2}{1 + t^2} = \frac{1}{4} \int_0^{2k} \frac{dt}{1 + t^2}$.समाकलन का मान ज्ञात करने पर: $\frac{1}{4} [	an^{-1} t]_0^{2k} = \frac{1}{4} 	an^{-1}(2k)$.दिए गए मान के साथ तुलना करने पर: $\frac{1}{4} 	an^{-1}(2k) = \frac{\pi}{16}$.$	an^{-1}(2k) = \frac{\pi}{4}$.$2k = 	an(\frac{\pi}{4}) = 1$.अतः,$k = \frac{1}{2}$.

यदि $\int_0^k \frac{dx}{2 + 8x^2} = \frac{\pi}{16}$ है,तो $k = $

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यदि $f(x) = \begin{cases} 2x^2 + 1, & x \leq 1 \\ 4x^3 - 1, & x > 1 \end{cases}$ है, तो $\int_{0}^{2} f(x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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