यदि int_0^x {f(t),dt} = x + int_x^1 {t,f(t),d | vedclass

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Question

(A) दिया गया समीकरण: $\int_0^x {f(t)\,dt} = x + \int_x^1 {t\,f(t)\,dt}$ समाकलन $\int_x^1 {t\,f(t)\,dt}$ को $-\int_1^x {t\,f(t)\,dt}$ के रूप में लिखने

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(A) दिया गया समीकरण: $\int_0^x {f(t)\,dt} = x + \int_x^1 {t\,f(t)\,dt}$ समाकलन $\int_x^1 {t\,f(t)\,dt}$ को $-\int_1^x {t\,f(t)\,dt}$ के रूप में लिखने पर: $\int_0^x {f(t)\,dt} = x - \int_1^x {t\,f(t)\,dt}$ दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर (Leibniz integral rule का उपयोग करते हुए): $\frac{d}{dx} \left( \int_0^x {f(t)\,dt} \right) = \frac{d}{dx} (x) - \frac{d}{dx} \left( \int_1^x {t\,f(t)\,dt} \right)$ कलन के मूलभूत प्रमेय का उपयोग करने पर: $f(x) = 1 - xf(x)$ $f(x)$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर: $f(x) + xf(x) = 1$ $f(x)(1 + x) = 1$ $f(x) = \frac{1}{1 + x}$ अब,$f(1)$ ज्ञात करने के लिए $x = 1$ रखने पर: $f(1) = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$.

यदि $\int_0^x {f(t)\,dt} = x + \int_x^1 {t\,f(t)\,dt,}$ है,तो $f(1)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$\int_0^1 x^{3/2} \sqrt{1-x} \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} (\cos 2x)^{3/2} \cos x \,dx =$

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माना $H(x) = \int_{x^2}^{x^3} (x + 1) \sin(t^3) dt$ है। तो $\lim_{x \to 1} \frac{H(x)}{x - 1}$ का मान ज्ञात कीजिए:

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