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Question

(C) माना $I = \int_0^\pi {e^{\cos^2 x} \cos^3((2n + 1)x)} \, dx$. गुणधर्म $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a - x) \, dx$ का उपयोग करने पर: $I = \int_

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(C) माना $I = \int_0^\pi {e^{\cos^2 x} \cos^3((2n + 1)x)} \, dx$. गुणधर्म $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a - x) \, dx$ का उपयोग करने पर: $I = \int_0^\pi {e^{\cos^2(\pi - x)} \cos^3((2n + 1)(\pi - x))} \, dx$. चूंकि $\cos(\pi - x) = -\cos x$,इसलिए $\cos^2(\pi - x) = \cos^2 x$. साथ ही,$\cos((2n + 1)(\pi - x)) = \cos((2n + 1)\pi - (2n + 1)x) = \cos((2n + 1)\pi) \cos((2n + 1)x) + \sin((2n + 1)\pi) \sin((2n + 1)x)$. चूंकि $(2n + 1)$ एक विषम पूर्णांक है,$\cos((2n + 1)\pi) = -1$ और $\sin((2n + 1)\pi) = 0$. अतः,$\cos((2n + 1)(\pi - x)) = -\cos((2n + 1)x)$. इसलिए,$\cos^3((2n + 1)(\pi - x)) = (-\cos((2n + 1)x))^3 = -\cos^3((2n + 1)x)$. इस मान को समाकलन में रखने पर,हमें $I = \int_0^\pi e^{\cos^2 x} (-\cos^3((2n + 1)x)) \, dx = -I$ प्राप्त होता है। $2I = 0 \implies I = 0$.

यदि $n$ कोई पूर्णांक है,तो $\int_0^\pi {e^{\cos^2 x} \cos^3((2n + 1)x)} \, dx = $

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