यदि F(x) = f(x) + fleft(frac{1}{x}right),जहाँ | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $f(x) = \int_{1}^{x} \frac{\log_{e} t}{1+t} dt$. $f\left(\frac{1}{x}\right) = \int_{1}^{1/x} \frac{\log_{e} t}{1+t} dt$ पर विचार करें।

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$0.5$

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(C) दिया गया है $f(x) = \int_{1}^{x} \frac{\log_{e} t}{1+t} dt$. $f\left(\frac{1}{x}\right) = \int_{1}^{1/x} \frac{\log_{e} t}{1+t} dt$ पर विचार करें। मान लीजिए $t = \frac{1}{u}$,तो $dt = -\frac{1}{u^2} du$. जब $t=1, u=1$. जब $t=1/x, u=x$. $f\left(\frac{1}{x}\right) = \int_{1}^{x} \frac{\log_{e}(1/u)}{1+(1/u)} \left(-\frac{1}{u^2}\right) du = \int_{1}^{x} \frac{-\log_{e} u}{\frac{u+1}{u}} \left(\frac{1}{u^2}\right) du = \int_{1}^{x} \frac{-\log_{e} u}{u(u+1)} du$. अब,$F(x) = f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right) = \int_{1}^{x} \frac{\log_{e} t}{1+t} dt + \int_{1}^{x} \frac{-\log_{e} t}{t(1+t)} dt$. $F(x) = \int_{1}^{x} \frac{\log_{e} t}{1+t} \left( 1 - \frac{1}{t} \right) dt = \int_{1}^{x} \frac{\log_{e} t}{t} dt$. $F(x) = \left[ \frac{(\log_{e} t)^2}{2} \right]_{1}^{x} = \frac{(\log_{e} x)^2}{2}$. $x=e$ के लिए,$F(e) = \frac{(\log_{e} e)^2}{2} = \frac{1}{2} = 0.5$.

यदि $F(x) = f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right)$,जहाँ $f(x) = \int_{1}^{x} \frac{\log_{e} t}{1+t} dt$ है,तो $F(e) = $

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$\int_{-1}^1 \frac{\log (1+x)}{1+x^2} d x = \int_0^1 \frac{\log (1+x)}{1+x^2} d x + \int_0^1 f(x) d x$ है, तो $f(x) =$

$\int_{-1/2}^{1/2} (\cos x) \left[ \log \left( \frac{1-x}{1+x} \right) \right] dx = $

यदि $a > 0$ है, तो $\int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin^2 x}{1+a^x} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f(x) = \int_{0}^{x} g(t) dt$,जहाँ $g$ एक शून्येतर सम फलन है। यदि $f(x+5) = g(x)$ है,तो $\int_{0}^{x} f(t) dt$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log \sin x \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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