मान लीजिए f(x) = int_{0}^{x} g(t) dt,जहाँ g ए | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $f(x) = \int_{0}^{x} g(t) dt$. चूँकि $g(t)$ एक सम फलन है,$f(x)$ एक विषम फलन है क्योंकि $f(-x) = \int_{0}^{-x} g(t) dt$. $t = -u$ लेने

Vedclass · Accepted Answer

$\int_{x+5}^{5} g(t) dt$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $f(x) = \int_{0}^{x} g(t) dt$. चूँकि $g(t)$ एक सम फलन है,$f(x)$ एक विषम फलन है क्योंकि $f(-x) = \int_{0}^{-x} g(t) dt$. $t = -u$ लेने पर,$dt = -du$. अतः $f(-x) = \int_{0}^{x} g(-u) (-du) = -\int_{0}^{x} g(u) du = -f(x)$.दिया गया है $f(x+5) = g(x)$. चूँकि $g(x)$ सम है,$g(x) = g(-x)$,इसलिए $f(x+5) = g(-x)$.साथ ही,चूँकि $f$ विषम है,$f(x+5) = -f(-x-5)$.हमें $I = \int_{0}^{x} f(t) dt$ का मूल्यांकन करना है।$f(x+5) = g(x)$ से,हमारे पास $g(t) = f(t+5)$ है।चूँकि $g$ सम है,$g(t) = g(-t)$,इसलिए $f(t+5) = f(-t+5)$.अवकलन का उपयोग करते हुए,$f'(x) = g(x)$.$f(x+5) = g(x)$ का $0$ से $x$ तक समाकलन करने पर:$\int_{0}^{x} f(t+5) dt = \int_{0}^{x} g(t) dt = f(x)$.$u = t+5$ लेने पर,$du = dt$. जब $t=0, u=5$; जब $t=x, u=x+5$.अतः,$\int_{5}^{x+5} f(u) du = f(x)$.इस प्रकार,$\int_{0}^{x} f(t) dt = \int_{x+5}^{5} g(t) dt$ सही उत्तर है।

मान लीजिए $f(x) = \int_{0}^{x} g(t) dt$,जहाँ $g$ एक शून्येतर सम फलन है। यदि $f(x+5) = g(x)$ है,तो $\int_{0}^{x} f(t) dt$ का मान ज्ञात कीजिए।

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