int_{-1}^1 frac{log (1+x)}{1+x^2} d x = int_0 | vedclass

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Question

(C) दिया गया समाकलन $I = \int_{-1}^1 \frac{\log (1+x)}{1+x^2} d x$ है।समाकलन को $x=0$ पर विभाजित करने पर:$I = \int_{-1}^0 \frac{\log (1+x)}{1+x^2} d x

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\log (1-x)}{1+x^2}$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया समाकलन $I = \int_{-1}^1 \frac{\log (1+x)}{1+x^2} d x$ है।समाकलन को $x=0$ पर विभाजित करने पर:$I = \int_{-1}^0 \frac{\log (1+x)}{1+x^2} d x + \int_0^1 \frac{\log (1+x)}{1+x^2} d x$.माना $I_1 = \int_{-1}^0 \frac{\log (1+x)}{1+x^2} d x$.$x = -t$ प्रतिस्थापित करने पर, $d x = -d t$. जब $x = -1, t = 1$ और जब $x = 0, t = 0$.$I_1 = \int_1^0 \frac{\log (1-t)}{1+(-t)^2} (-d t) = \int_0^1 \frac{\log (1-t)}{1+t^2} d t$.निश्चित समाकलन के गुणधर्म $\int_a^b f(t) d t = \int_a^b f(x) d x$ के अनुसार, $I_1 = \int_0^1 \frac{\log (1-x)}{1+x^2} d x$.दिए गए समीकरण $\int_{-1}^1 \frac{\log (1+x)}{1+x^2} d x = \int_0^1 \frac{\log (1+x)}{1+x^2} d x + \int_0^1 f(x) d x$ के साथ तुलना करने पर, हमें $f(x) = \frac{\log (1-x)}{1+x^2}$ प्राप्त होता है।

List-$I$	List-$II$
$I. \int_{-1}^1 x\|x\| dx$	$(a) \frac{\pi}{2}$
$II. \int_0^{\pi/2} \left(1 + \log \left(\frac{4+3\sin x}{4+3\cos x}\right)\right) dx$	$(b) \int_0^a 2f(x) dx$
$III. \int_0^a f(x) dx$	$(c) \int_0^a [f(x) + f(-x)] dx$
$IV. \int_{-a}^a f(x) dx$	$(d) 0$
	$(e) \int_0^a f(a-x) dx$

$\int_{-1}^1 \frac{\log (1+x)}{1+x^2} d x = \int_0^1 \frac{\log (1+x)}{1+x^2} d x + \int_0^1 f(x) d x$ है, तो $f(x) =$

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निश्चित समाकलन $\int_{0}^{\pi/2} \sqrt{\tan x} \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \left(\frac{1+\sin^{2} x}{1+\pi^{\sin x}}\right) \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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