$\int_{-1}^1 \frac{\log (1+x)}{1+x^2} d x = \int_0^1 \frac{\log (1+x)}{1+x^2} d x + \int_0^1 f(x) d x$ હોય, તો $f(x) =$

સંકલન $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{\cot x}}{\sqrt{\cot x}+\sqrt{\tan x}} \,dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

$\int_{-\pi}^\pi \frac{x \sin ^3 x}{4-\cos ^2 x} d x=$

ધારો કે $m, n, p, q$ ચાર ધન પૂર્ણાંકો છે. જો $\int_0^{2 \pi} \sin^m x \cos^n x \, dx = 4 \int_0^{\pi/2} \sin^m x \cos^n x \, dx$, $\int_0^{2 \pi} \sin^p x \cos^n x \, dx = 0$, $\int_0^{\pi} \sin^p x \cos^q x \, dx = 0$, $a = m + n + p$ અને $b = m + n + q$ હોય, તો:

$\int_0^{\pi /2} \log(\sin x) \, dx = $

જો $I = \int_0^{\pi /4} \sin^2 x \, dx$ અને $J = \int_0^{\pi /4} \cos^2 x \, dx$ હોય,તો $I = $