int_{-pi}^pi frac{x sin ^3 x}{4-cos ^2 x} d x | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) ધારો કે $I = \int_{-\pi}^\pi \frac{x \sin ^3 x}{4-\cos ^2 x} d x$. અહીં $f(x) = \frac{x \sin ^3 x}{4-\cos ^2 x}$ એ યુગ્મ વિધેય છે (કારણ કે $f(-x)

Vedclass · Accepted Answer

$2 \pi\left(1-\frac{3}{4} \log 3\right)$

Vedclass · Answer

(B) ધારો કે $I = \int_{-\pi}^\pi \frac{x \sin ^3 x}{4-\cos ^2 x} d x$. અહીં $f(x) = \frac{x \sin ^3 x}{4-\cos ^2 x}$ એ યુગ્મ વિધેય છે (કારણ કે $f(-x) = f(x)$),તેથી: $I = 2 \int_0^\pi \frac{x \sin ^3 x}{4-\cos ^2 x} d x$ ....$(i)$ ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા: $I = 2 \int_0^\pi \frac{(\pi-x) \sin ^3 x}{4-\cos ^2 x} d x$ ....(ii) $(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા: $2I = 2 \pi \int_0^\pi \frac{\sin ^3 x}{4-\cos ^2 x} d x \Rightarrow I = \pi \int_0^\pi \frac{(1-\cos^2 x) \sin x}{4-\cos ^2 x} d x$. ધારો કે $\cos x = t$,તો $-\sin x dx = dt$. જ્યારે $x=0, t=1$; જ્યારે $x=\pi, t=-1$. $I = -\pi \int_1^{-1} \frac{1-t^2}{4-t^2} dt = 2\pi \int_0^1 \frac{1-t^2}{4-t^2} dt$. $I = 2\pi \int_0^1 (1 - \frac{3}{4-t^2}) dt = 2\pi [t - \frac{3}{4} \log |\frac{2+t}{2-t}|]_0^1 = 2\pi [1 - \frac{3}{4} \log 3]$.

$\int_{-\pi}^\pi \frac{x \sin ^3 x}{4-\cos ^2 x} d x=$

Similar Questions

ધારો કે લક્ષ $L = \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt{n} \int_0^1 \frac{1}{(1+x^2)^n} dx$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે અને તે $\frac{1}{2}$ કરતા મોટું છે. તો,

ધારો કે $f:R \to R$ અને $g:R \to R$ સતત વિધેયો છે,તો સંકલન $\int_{-\pi/2}^{\pi/2} [f(x) + f(-x)][g(x) - g(-x)] \, dx$ ની કિંમત શોધો.

સંકલન $\int_{-1/2}^{1/2} \left( [x] + \log \left( \frac{1+x}{1-x} \right) \right) dx$ ની કિંમત શોધો (જ્યાં $[.]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય છે):

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module