ધારો કે [bullet] એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય છે. | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) પ્રથમ, આપણે $\alpha = \int_{0}^{64} (x^{1/3} - [x^{1/3}]) dx = \int_{0}^{64} x^{1/3} dx - \int_{0}^{64} [x^{1/3}] dx$ ની ગણતરી કરીએ. $\int_{0}^{64

Vedclass · Accepted Answer

$36$

Vedclass · Answer

(B) પ્રથમ, આપણે $\alpha = \int_{0}^{64} (x^{1/3} - [x^{1/3}]) dx = \int_{0}^{64} x^{1/3} dx - \int_{0}^{64} [x^{1/3}] dx$ ની ગણતરી કરીએ. $\int_{0}^{64} x^{1/3} dx = \left[ \frac{3}{4} x^{4/3} ight]_{0}^{64} = \frac{3}{4} 	imes 256 = 192$. $\int_{0}^{64} [x^{1/3}] dx$ માટે, આપણે $[x^{1/3}]$ ની કિંમતોના આધારે સંકલનને વિભાજિત કરીએ છીએ: $= \int_{0}^{1} 0 dx + \int_{1}^{8} 1 dx + \int_{8}^{27} 2 dx + \int_{27}^{64} 3 dx = 0 + (8-1) + 2(27-8) + 3(64-27) = 7 + 38 + 111 = 156$. આમ, $\alpha = 192 - 156 = 36$. હવે, આપણે $E = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{36\pi} \frac{\sin^2 	heta}{\sin^6 	heta + \cos^6 	heta} d	heta$ ની કિંમત શોધીએ. વિધેયનો આવર્તમાન $\pi$ હોવાથી, $E = \frac{36}{\pi} \int_{0}^{\pi} \frac{\sin^2 	heta}{\sin^6 	heta + \cos^6 	heta} d	heta = \frac{36 	imes 2}{\pi} \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin^2 	heta}{\sin^6 	heta + \cos^6 	heta} d	heta$. ધારો કે $J = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin^2 	heta}{\sin^6 	heta + \cos^6 	heta} d	heta$. કિંગના ગુણધર્મ મુજબ, $J = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos^2 	heta}{\sin^6 	heta + \cos^6 	heta} d	heta$. બંનેનો સરવાળો કરતા, $2J = \int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{\sin^6 	heta + \cos^6 	heta} d	heta = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sec^6 	heta}{	an^6 	heta + 1} d	heta$. ધારો કે $	an 	heta = t$, તો $dt = \sec^2 	heta d	heta$. $2J = \int_{0}^{\infty} \frac{(1+t^2)^2}{t^6+1} dt = \int_{0}^{\infty} \frac{1+t^2}{t^4-t^2+1} dt = \pi$. આમ $J = \pi/2$. અંતે, $E = \frac{72}{\pi} 	imes \frac{\pi}{2} = 36$.

Similar Questions

જો $I_{m, n} = \int_{0}^{1} x^{m-1}(1-x)^{n-1} dx$ એ $m, n \geq 1$ માટે હોય અને $\int_{0}^{1} \frac{x^{m-1}+x^{n-1}}{(1+x)^{m+n}} dx = \alpha I_{m, n}$,જ્યાં $\alpha \in R$,તો $\alpha$ ની કિંમત .... થાય.

$\int_0^\pi \frac{x \sin x}{1+\cos ^2 x} d x=$

$\int_2^4 \frac{\log x^2}{\log x^2+\log (36-12x+x^2)} dx$ ની કિંમત શોધો.

$\int_{0}^{\sqrt{3}} (x+4)^2 e^{x^2} dx + \int_{\sqrt{3}}^{0} (x-4)^2 e^{x^2} dx$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $J = \int_0^1 \frac{x}{1+x^8} dx$. નીચેના વિધાનો ધ્યાનમાં લો:
$I$. $J > \frac{1}{4}$
$II$. $J < \frac{\pi}{8}$
તો,

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module