int_0^{pi /2} log(sin x) , dx = | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $I = \int_0^{\pi /2} \log(\sin x) \, dx$. ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $I = \int_0^{\pi /

Vedclass · Accepted Answer

$-\frac{\pi}{2} \log 2$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $I = \int_0^{\pi /2} \log(\sin x) \, dx$. ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $I = \int_0^{\pi /2} \log(\cos x) \, dx$. આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2I = \int_0^{\pi /2} (\log(\sin x) + \log(\cos x)) \, dx = \int_0^{\pi /2} \log(\sin x \cos x) \, dx$. લોગની અંદર $2$ વડે ગુણતા અને ભાગતા: $2I = \int_0^{\pi /2} \log(\frac{\sin 2x}{2}) \, dx = \int_0^{\pi /2} \log(\sin 2x) \, dx - \int_0^{\pi /2} \log 2 \, dx$. $2I = \int_0^{\pi /2} \log(\sin 2x) \, dx - \frac{\pi}{2} \log 2$. ધારો કે $2x = t$,તો $2 \, dx = dt$. જ્યારે $x=0, t=0$ અને જ્યારે $x=\pi/2, t=\pi$. $2I = \frac{1}{2} \int_0^{\pi} \log(\sin t) \, dt - \frac{\pi}{2} \log 2$. ગુણધર્મ $\int_0^{2a} f(x) \, dx = 2 \int_0^a f(x) \, dx$ નો ઉપયોગ કરતા જો $f(2a-x) = f(x)$ હોય: $2I = \frac{1}{2} \cdot 2 \int_0^{\pi /2} \log(\sin t) \, dt - \frac{\pi}{2} \log 2$. $2I = I - \frac{\pi}{2} \log 2$. $I = -\frac{\pi}{2} \log 2$.

$\int_0^{\pi /2} \log(\sin x) \, dx = $

Similar Questions

જો $\int_{-a}^a f(x) dx = \int_0^a f(x) dx + \int_0^a g(x) dx$ હોય, તો $g(x) =$

$\sum_{n=1}^{10} \int_{-2n-1}^{-2n} \sin^{27} x \, dx + \sum_{n=1}^{10} \int_{2n}^{2n+1} \sin^{27} x \, dx$ ની કિંમત શોધો.

$\int_{-1}^1 \sin^5 x \cos^4 x \, dx = $ . . . . . .

$\int_0^{\pi /2} \frac{\sqrt{\cot x}}{\sqrt{\cot x} + \sqrt{\tan x}} \, dx = $

$\int_{ - 1}^1 {\log \left( \frac{2 - x}{2 + x} \right)\,dx} = $

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module