int_0^{pi /2} log(sin x) , dx = | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_0^{\pi /2} \log(\sin x) \, dx$ है। गुणधर्म $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर,हमें $I = \int_0^{\pi /2}

Vedclass · Accepted Answer

$-\frac{\pi}{2} \log 2$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int_0^{\pi /2} \log(\sin x) \, dx$ है। गुणधर्म $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर,हमें $I = \int_0^{\pi /2} \log(\cos x) \, dx$ प्राप्त होता है। इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2I = \int_0^{\pi /2} (\log(\sin x) + \log(\cos x)) \, dx = \int_0^{\pi /2} \log(\sin x \cos x) \, dx$। लॉग के अंदर $2$ से गुणा और भाग करने पर: $2I = \int_0^{\pi /2} \log(\frac{\sin 2x}{2}) \, dx = \int_0^{\pi /2} \log(\sin 2x) \, dx - \int_0^{\pi /2} \log 2 \, dx$। $2I = \int_0^{\pi /2} \log(\sin 2x) \, dx - \frac{\pi}{2} \log 2$। माना $2x = t$,तब $2 \, dx = dt$। जब $x=0, t=0$ और जब $x=\pi/2, t=\pi$। $2I = \frac{1}{2} \int_0^{\pi} \log(\sin t) \, dt - \frac{\pi}{2} \log 2$। गुणधर्म $\int_0^{2a} f(x) \, dx = 2 \int_0^a f(x) \, dx$ का उपयोग करने पर यदि $f(2a-x) = f(x)$ हो: $2I = \frac{1}{2} \cdot 2 \int_0^{\pi /2} \log(\sin t) \, dt - \frac{\pi}{2} \log 2$। $2I = I - \frac{\pi}{2} \log 2$। $I = -\frac{\pi}{2} \log 2$।

$\int_0^{\pi /2} \log(\sin x) \, dx = $

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