यदि f(x) = int_{-1}^x |t| , dt,x ge -1,है,तो | vedclass

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Question

(A) अंतराल को दो उप-अंतरालों में विभाजित करें: $I_1: -1 \le x < 0$ और $I_2: x \ge 0$।$I_1$ के लिए,$f(x) = \int_{-1}^x (-t) \, dt = -\frac{1}{2}[t^2]_{

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$f$ और $f'$ $x + 1 > 0$ के लिए सतत हैं

Vedclass · Answer

(A) अंतराल को दो उप-अंतरालों में विभाजित करें: $I_1: -1 \le x $I_1$ के लिए,$f(x) = \int_{-1}^x (-t) \, dt = -\frac{1}{2}[t^2]_{-1}^x = -\frac{1}{2}(x^2 - 1) = \frac{1}{2}(1 - x^2)$।$I_2$ के लिए,$f(x) = \int_{-1}^0 (-t) \, dt + \int_0^x (t) \, dt = -\frac{1}{2}[t^2]_{-1}^0 + \frac{1}{2}[t^2]_0^x = -\frac{1}{2}(0 - 1) + \frac{1}{2}(x^2 - 0) = \frac{1}{2}(1 + x^2)$।अतः,$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}(1 - x^2), & -1 \le x अवकलन करने पर,$f'(x) = \begin{cases} -x, & -1  0 \end{cases}$।$x = 0$ पर,$\lim_{x 	o 0^-} f(x) = \frac{1}{2}(1 - 0) = \frac{1}{2}$ और $\lim_{x 	o 0^+} f(x) = \frac{1}{2}(1 + 0) = \frac{1}{2}$। चूंकि $f(0) = \frac{1}{2}$,$f$ $x = 0$ पर सतत है।$f'(x)$ के लिए,$\lim_{x 	o 0^-} f'(x) = 0$ और $\lim_{x 	o 0^+} f'(x) = 0$। चूंकि $f'(0) = 0$,$f'$ $x = 0$ पर सतत है।इसलिए,$f$ और $f'$ दोनों $x > -1$ के लिए सतत हैं,अर्थात $x + 1 > 0$।

यदि $f(x) = \int_{-1}^x |t| \, dt$,$x \ge -1$,है,तो

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यदि $f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{जब } x \le 1 \\ x + 5, & \text{जब } x > 1 \end{cases}$,तो

यदि $f(x) = \begin{cases} e^x; & x \le 0 \\ |1 - x|; & x > 0 \end{cases}$,तो

यदि फलन $f(x) = \begin{cases} \frac{\cos ax - \cos bx}{\cos cx - \cos bx} & , x \neq 0 \\ -1 & , x = 0 \end{cases}$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है,तो $a^2, b^2, c^2$ किसमें हैं?

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