यदि a और b दो निश्चित धनात्मक पूर्णांक हैं,जै | vedclass

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Question

(B) दिया गया समीकरण: $f(a + x) = b + [b^3 + 1 - 3b^2f(x) + 3b\{f(x)\}^2 - \{f(x)\}^3]^{1/3}$.घनमूल के अंदर के व्यंजक को इस प्रकार लिखा जा सकता है: $1

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$2a$

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(B) दिया गया समीकरण: $f(a + x) = b + [b^3 + 1 - 3b^2f(x) + 3b\{f(x)\}^2 - \{f(x)\}^3]^{1/3}$.घनमूल के अंदर के व्यंजक को इस प्रकार लिखा जा सकता है: $1 - (f(x) - b)^3$.अतः,$f(a + x) = b + [1 - (f(x) - b)^3]^{1/3}$.मान लीजिए $\phi(x) = f(x) - b$. तब समीकरण $\phi(a + x) = [1 - \{\phi(x)\}^3]^{1/3}$ बन जाता है।अब,$\phi(x + 2a)$ ज्ञात कीजिए:$\phi(x + 2a) = \phi(a + (x + a)) = [1 - \{\phi(x + a)\}^3]^{1/3}$.$\phi(x + a) = [1 - \{\phi(x)\}^3]^{1/3}$ का मान समीकरण में रखने पर:$\phi(x + 2a) = [1 - ([1 - \{\phi(x)\}^3]^{1/3})^3]^{1/3}$.$\phi(x + 2a) = [1 - (1 - \{\phi(x)\}^3)]^{1/3} = [\{\phi(x)\}^3]^{1/3} = \phi(x)$.चूंकि $\phi(x + 2a) = \phi(x)$,इसलिए $f(x + 2a) - b = f(x) - b$,जिसका अर्थ है $f(x + 2a) = f(x)$.अतः,$f(x)$ एक आवर्ती फलन है जिसका आवर्तकाल $2a$ है।

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