मान लीजिए f : R rightarrow R एक सतत फलन है जै | vedclass

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Question

(B) दिया गया फलन समीकरण $f(3x) - f(x) = x$ है। $x$ को $x/3$ से बदलने पर,हमें $f(x) - f(x/3) = x/3$ प्राप्त होता है। $x$ को $x/3^2$ से बदलने पर,हमें $f

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$10$

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(B) दिया गया फलन समीकरण $f(3x) - f(x) = x$ है। $x$ को $x/3$ से बदलने पर,हमें $f(x) - f(x/3) = x/3$ प्राप्त होता है। $x$ को $x/3^2$ से बदलने पर,हमें $f(x/3) - f(x/3^2) = x/3^2$ प्राप्त होता है। इस प्रक्रिया को जारी रखने पर,हमें $f(x/3^{n-1}) - f(x/3^n) = x/3^n$ प्राप्त होता है। इन समीकरणों का $n=1$ से $\infty$ तक योग करने पर,हमें $f(x) - \lim_{n \rightarrow \infty} f(x/3^n) = x \sum_{n=1}^{\infty} (1/3)^n$ प्राप्त होता है। चूंकि $f$ सतत है,इसलिए $\lim_{n \rightarrow \infty} f(x/3^n) = f(0)$ होगा। अतः,$f(x) - f(0) = x \cdot \frac{1/3}{1 - 1/3} = x \cdot \frac{1/3}{2/3} = x/2$। इस प्रकार,$f(x) = x/2 + f(0)$। दिया गया है कि $f(8) = 7$,इसलिए $7 = 8/2 + f(0) \implies 7 = 4 + f(0) \implies f(0) = 3$। इसलिए,$f(x) = x/2 + 3$। अंत में,$f(14) = 14/2 + 3 = 7 + 3 = 10$।

मान लीजिए $f : R \rightarrow R$ एक सतत फलन है जैसे कि $f(3x) - f(x) = x$। यदि $f(8) = 7$ है,तो $f(14)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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