यदि f(x) = g(x) है,तो int {f'(x) cdot g(x)} , | vedclass

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Question

(D) दिया गया है कि $f(x) = g(x)$.हमें समाकलन $I = \int f'(x) \cdot g(x) \, dx$ का मान ज्ञात करना है।चूंकि $f(x) = g(x)$,हम $f(x)$ को $g(x)$ से या इसके

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$A$ या $C$ दोनों

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(D) दिया गया है कि $f(x) = g(x)$.हमें समाकलन $I = \int f'(x) \cdot g(x) \, dx$ का मान ज्ञात करना है।चूंकि $f(x) = g(x)$,हम $f(x)$ को $g(x)$ से या इसके विपरीत प्रतिस्थापित कर सकते हैं।विधि $1$: प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करते हुए।माना $f(x) = t$,तो $f'(x) \, dx = dt$.चूंकि $f(x) = g(x)$,हमें प्राप्त होता है $I = \int f(x) \cdot f'(x) \, dx = \int t \, dt = \frac{t^2}{2} + c = \frac{{\{f(x)\}}^2}{2} + c$.चूंकि $f(x) = g(x)$,यह मान $\frac{{\{g(x)\}}^2}{2} + c$ के भी बराबर है।विधि $2$: खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करते हुए।$I = \int g(x) \cdot f'(x) \, dx = g(x) \cdot f(x) - \int g'(x) \cdot f(x) \, dx + c$.चूंकि $f(x) = g(x)$,इसलिए $f'(x) = g'(x)$.$I = g(x) \cdot g(x) - \int f'(x) \cdot g(x) \, dx + c$.$I = {\{g(x)\}}^2 - I + c$.$2I = {\{g(x)\}}^2 + c$.$I = \frac{1}{2}{\{g(x)\}}^2 + c$.विकल्प $A$ और $C$ दोनों समान मान दर्शाते हैं क्योंकि $f(x) = g(x)$.अतः,सही विकल्प $D$ है।

List-$I$	List-$II$
$1. \int \frac{\sin^2 x}{\cos^4 x} dx$	$A. \frac{\tan^2 x}{2} + \ln\|\cos x\| + c$
$2. \int \frac{\sin^4 x}{\cos^2 x} dx$	$B. \cos x + \sec x + c$
$3. \int \frac{\sin^3 x}{\cos^2 x} dx$	$C. \frac{\tan^3 x}{3} + c$
$4. \int \frac{\sin^3 x}{\cos^3 x} dx$	$D. \tan x + \frac{\sin 2x}{4} - \frac{3x}{2} + c$
	$E. \cos x - \sec x + c$

यदि $f(x) = g(x)$ है,तो $\int {f'(x) \cdot g(x)} \, dx$ का मान क्या होगा?

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$\int x^{2} [ \sqrt{2} \sin ( \frac{\pi}{4} + x ) + e^{x} ] dx =$

यदि ${I_1} = \int {{{\sin }^{ - 1}}x\,dx} $ और ${I_2} = \int {{{\sin }^{ - 1}}\sqrt {1 - {x^2}} } dx$ है,तो:

$\int \frac{\sqrt{1-x^2} \sin ^{-1} x+x}{\sqrt{1-x^2}} d x=$

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