मान लीजिए g:(0, infty) rightarrow R एक अवकलनी | vedclass

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Question

(D) दिया गया समाकलन समीकरण: $\int \left( \frac{x(\cos x - \sin x)}{e^x + 1} + \frac{g(x)(e^x + 1 - x e^x)}{(e^x + 1)^2} \right) dx = \frac{x g(x)}{e^x

Vedclass · Accepted Answer

$g - g'$ अंतराल $(0, \pi/2)$ में वर्धमान है

Vedclass · Answer

(D) दिया गया समाकलन समीकरण: $\int \left( \frac{x(\cos x - \sin x)}{e^x + 1} + \frac{g(x)(e^x + 1 - x e^x)}{(e^x + 1)^2} \right) dx = \frac{x g(x)}{e^x + 1} + c$. दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{x(\cos x - \sin x)}{e^x + 1} + \frac{g(x)(e^x + 1 - x e^x)}{(e^x + 1)^2} = \frac{d}{dx} \left( \frac{x g(x)}{e^x + 1} \right)$. दाहिनी ओर भागफल नियम का उपयोग करने पर: $\frac{d}{dx} \left( \frac{x g(x)}{e^x + 1} \right) = \frac{(e^x + 1)(g(x) + x g'(x)) - x g(x) e^x}{(e^x + 1)^2} = \frac{g(x)(e^x + 1 - x e^x) + x g'(x)(e^x + 1)}{(e^x + 1)^2}$. पदों की तुलना करने पर: $\frac{x(\cos x - \sin x)}{e^x + 1} = \frac{x g'(x)}{e^x + 1}$. चूंकि $x > 0$,इसलिए $g'(x) = \cos x - \sin x$. अब विकल्पों का विश्लेषण करते हैं: $1$. $g'(x) = \cos x - \sin x$. $x \in (0, \pi/4)$ के लिए,$\cos x > \sin x$,इसलिए $g'(x) > 0$,जिसका अर्थ है कि $g$ वर्धमान है। $2$. $g''(x) = -\sin x - \cos x$. $x \in (0, \pi/4)$ के लिए,$g''(x) $3$. मान लीजिए $h(x) = g(x) + g'(x)$. तब $h'(x) = g'(x) + g''(x) = -2 \sin x $4$. मान लीजिए $\phi(x) = g(x) - g'(x)$. तब $\phi'(x) = g'(x) - g''(x) = 2 \cos x > 0$,इसलिए $\phi$ वर्धमान है। अतः,विकल्प $D$ सही है।

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