ધારો કે g:(0, infty) rightarrow R એક વિકલનીય | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપેલ સંકલન સમીકરણ: $\int \left( \frac{x(\cos x - \sin x)}{e^x + 1} + \frac{g(x)(e^x + 1 - x e^x)}{(e^x + 1)^2} \right) dx = \frac{x g(x)}{e^x + 1}

Vedclass · Accepted Answer

$g - g'$ એ $(0, \pi/2)$ માં વધતું વિધેય છે

Vedclass · Answer

(D) આપેલ સંકલન સમીકરણ: $\int \left( \frac{x(\cos x - \sin x)}{e^x + 1} + \frac{g(x)(e^x + 1 - x e^x)}{(e^x + 1)^2} \right) dx = \frac{x g(x)}{e^x + 1} + c$. બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{x(\cos x - \sin x)}{e^x + 1} + \frac{g(x)(e^x + 1 - x e^x)}{(e^x + 1)^2} = \frac{d}{dx} \left( \frac{x g(x)}{e^x + 1} \right)$. જમણી બાજુ ભાગાકારનો નિયમ વાપરતા: $\frac{d}{dx} \left( \frac{x g(x)}{e^x + 1} \right) = \frac{(e^x + 1)(g(x) + x g'(x)) - x g(x) e^x}{(e^x + 1)^2} = \frac{g(x)(e^x + 1 - x e^x) + x g'(x)(e^x + 1)}{(e^x + 1)^2}$. પદોને સરખાવતા: $\frac{x(\cos x - \sin x)}{e^x + 1} = \frac{x g'(x)}{e^x + 1}$. $x > 0$ હોવાથી,$g'(x) = \cos x - \sin x$. હવે વિકલ્પો તપાસીએ: $1$. $g'(x) = \cos x - \sin x$. $x \in (0, \pi/4)$ માટે,$\cos x > \sin x$,તેથી $g'(x) > 0$,એટલે કે $g$ વધતું વિધેય છે. $2$. $g''(x) = -\sin x - \cos x$. $x \in (0, \pi/4)$ માટે,$g''(x) $3$. ધારો કે $h(x) = g(x) + g'(x)$. તો $h'(x) = g'(x) + g''(x) = -2 \sin x $4$. ધારો કે $\phi(x) = g(x) - g'(x)$. તો $\phi'(x) = g'(x) - g''(x) = 2 \cos x > 0$,તેથી $\phi$ વધતું વિધેય છે. આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

Similar Questions

$\int \frac{\cos 2 x \cdot \sin 4 x}{\cos ^4 x\left(1+\cos ^2 2 x\right)} d x=$

ધારો કે $x > 0$ એ એક નિશ્ચિત વાસ્તવિક સંખ્યા છે. તો,સંકલન $\int \limits_0^{\infty} e^{-t}|x-t| d t$ ની કિંમત શોધો.

જો $\int \frac{\cos x+x}{1+\sin x} d x=f(x)+\int \frac{3 \cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2}} d x+c_r$ હોય, તો $f(x)=$

$\int x^{2} [ \sqrt{2} \sin ( \frac{\pi}{4} + x ) + e^{x} ] dx =$

જો $f(x) = \frac{\sin^2 \pi x}{1+\pi^x}$ હોય,તો $\int (f(x) + f(-x)) \, dx$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module