यदि A_n = int_{0}^{pi /2} frac{sin((2n-1)x)}{ | vedclass

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Question

(D) $A_{n+1} - A_n = \int_{0}^{\pi /2} \frac{\sin((2n+1)x) - \sin((2n-1)x)}{\sin x} dx$ पर विचार करें। सर्वसमिका $\sin C - \sin D = 2 \cos(\frac{C+D}{

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$(A)$ और $(B)$ दोनों

Vedclass · Answer

(D) $A_{n+1} - A_n = \int_{0}^{\pi /2} \frac{\sin((2n+1)x) - \sin((2n-1)x)}{\sin x} dx$ पर विचार करें। सर्वसमिका $\sin C - \sin D = 2 \cos(\frac{C+D}{2}) \sin(\frac{C-D}{2})$ का उपयोग करने पर,हमें $\sin((2n+1)x) - \sin((2n-1)x) = 2 \cos(2nx) \sin x$ प्राप्त होता है। अतः,$A_{n+1} - A_n = \int_{0}^{\pi /2} 2 \cos(2nx) dx = [\frac{\sin(2nx)}{n}]_{0}^{\pi /2} = 0$. इसलिए,$A_{n+1} = A_n$. अब $B_{n+1} - B_n = \int_{0}^{\pi /2} (\frac{\sin^2((n+1)x) - \sin^2(nx)}{\sin^2 x}) dx$ पर विचार करें। $\sin^2 A - \sin^2 B = \sin(A-B) \sin(A+B)$ का उपयोग करने पर,हमें $\sin^2((n+1)x) - \sin^2(nx) = \sin(x) \sin((2n+1)x)$ प्राप्त होता है। इसलिए,$B_{n+1} - B_n = \int_{0}^{\pi /2} \frac{\sin(x) \sin((2n+1)x)}{\sin^2 x} dx = \int_{0}^{\pi /2} \frac{\sin((2n+1)x)}{\sin x} dx = A_{n+1}$. अतः,$(A)$ और $(B)$ दोनों सही हैं।

सूची $I$	सूची $II$
$P.$ $\leq 2$ घात वाले गैर-ऋणात्मक पूर्णांक गुणांकों वाले बहुपदों $f(x)$ की संख्या,जो $f(0)=0$ और $\int_0^1 f(x) dx=1$ को संतुष्ट करते हैं,है	$1.$ $8$
$Q.$ अंतराल $(-\sqrt{13}, \sqrt{13})$ में उन बिंदुओं की संख्या जहाँ $f(x)=\sin(x^2)+\cos(x^2)$ अपना अधिकतम मान प्राप्त करता है,है	$2.$ $2$
$R.$ $\int_{-2}^2 \frac{3x^2}{1+e^x} dx$ बराबर है	$3.$ $4$
$S.$ $\frac{\int_{-1/2}^{1/2} \cos 2x \log(\frac{1+x}{1-x}) dx}{\int_0^{1/2} \cos 2x \log(\frac{1+x}{1-x}) dx}$ बराबर है	$4.$ $0$

यदि $A_n = \int_{0}^{\pi /2} \frac{\sin((2n-1)x)}{\sin x} dx$ और $B_n = \int_{0}^{\pi /2} \left( \frac{\sin(nx)}{\sin x} \right)^2 dx$ जहाँ $n \in N$,तो:

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$\int_{0}^{2} ( |2x^2 - 3x| + [x - \frac{1}{2}] ) dx$,जहाँ $[ \cdot ]$ महत्तम पूर्णांक फलन है,का मान ज्ञात कीजिए।

$\alpha$ के वे मान जो $\int_{\pi /2}^{\alpha} \sin x \, dx = \sin 2\alpha$ को संतुष्ट करते हैं,जहाँ $\alpha \in [0, 2\pi]$,वे हैं:

यदि $n(2n+1) \int_{0}^{1}(1-x^n)^{2n} dx = 1177 \int_{0}^{1}(1-x^n)^{2n+1} dx$ है,तो $n \in N$ का मान $\dots\dots$ है।

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