જો $A_n = \int_{0}^{\pi /2} \frac{\sin((2n-1)x)}{\sin x} dx$ અને $B_n = \int_{0}^{\pi /2} \left( \frac{\sin(nx)}{\sin x} \right)^2 dx$ જ્યાં $n \in N$,તો:

ધારો કે $I_n = \int_0^1 (\log x)^n dx$,જ્યાં $n$ એ અઋણ પૂર્ણાંક છે. તો,$I_{2011} + 2011 I_{2010}$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f(\alpha) = \int_{0}^{\alpha} x^{2} \left(1 - \frac{x}{\alpha}\right)^{\alpha} dx$ (જ્યાં $\alpha > 0$),તો $\sum_{\alpha=1}^{5} \frac{f(\alpha)}{\alpha^{3}}$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f: R \rightarrow R$ એ $f(x) = a \sin \left(\frac{\pi[x]}{2}\right) + [2-x]$,$a \in R$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત વિધેય છે,જ્યાં $[t]$ એ $t$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક છે. જો $\lim_{x \rightarrow -1} f(x)$ અસ્તિત્વ ધરાવતું હોય,તો $\int_{0}^{4} f(x) dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

જો $f(x) = \text{Max}\{\sin x, \cos x\}$ અને $g(x) = \text{Min}\{\sin x, \cos x\}$ હોય,તો $\int_{0}^{\pi} f(x) dx + \int_{0}^{\pi} g(x) dx = $

જો $n(2n+1) \int_{0}^{1}(1-x^n)^{2n} dx = 1177 \int_{0}^{1}(1-x^n)^{2n+1} dx$ હોય,તો $n \in N$ ની કિંમત $\dots\dots$ છે.