જો n(2n+1) int_{0}^{1}(1-x^n)^{2n} dx = 1177 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) ધારો કે $I_1 = \int_{0}^{1}(1-x^n)^{2n} dx$ અને $I_2 = \int_{0}^{1}(1-x^n)^{2n+1} dx$.$I_2$ માટે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા:$I_2 = \int_{0}^{1} (1-x

Vedclass · Accepted Answer

$24$

Vedclass · Answer

(B) ધારો કે $I_1 = \int_{0}^{1}(1-x^n)^{2n} dx$ અને $I_2 = \int_{0}^{1}(1-x^n)^{2n+1} dx$.$I_2$ માટે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા:$I_2 = \int_{0}^{1} (1-x^n)^{2n+1} \cdot 1 dx$$= [x(1-x^n)^{2n+1}]_0^1 - \int_{0}^{1} x \cdot (2n+1)(1-x^n)^{2n} \cdot (-nx^{n-1}) dx$$= 0 - (2n+1)(-n) \int_{0}^{1} x^n (1-x^n)^{2n} dx$$= n(2n+1) \int_{0}^{1} (x^n - 1 + 1)(1-x^n)^{2n} dx$$= n(2n+1) [\int_{0}^{1} -(1-x^n)^{2n+1} dx + \int_{0}^{1} (1-x^n)^{2n} dx]$$I_2 = n(2n+1) [-I_2 + I_1]$$I_2 = -n(2n+1)I_2 + n(2n+1)I_1$$I_2(1 + 2n^2 + n) = n(2n+1)I_1$$\frac{I_1}{I_2} = \frac{2n^2 + n + 1}{n(2n+1)}$.આપેલ છે કે $\frac{I_1}{I_2} = \frac{1177}{n(2n+1)}$,તેથી $2n^2 + n + 1 = 1177$.$2n^2 + n - 1176 = 0$.દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $n = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(2)(-1176)}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 9408}}{4} = \frac{-1 \pm 97}{4}$.$n \in N$ હોવાથી,$n = \frac{96}{4} = 24$.

યાદી $I$	યાદી $II$
$P.$ $f(0)=0$ અને $\int_0^1 f(x) dx=1$ નું પાલન કરતા,$\leq 2$ ઘાતવાળા અ-ઋણ પૂર્ણાંક સહગુણકો ધરાવતા બહુપદીઓ $f(x)$ ની સંખ્યા છે	$1.$ $8$
$Q.$ અંતરાલ $(-\sqrt{13}, \sqrt{13})$ માં એવા બિંદુઓની સંખ્યા જ્યાં $f(x)=\sin(x^2)+\cos(x^2)$ તેની મહત્તમ કિંમત પ્રાપ્ત કરે છે	$2.$ $2$
$R.$ $\int_{-2}^2 \frac{3x^2}{1+e^x} dx$ બરાબર છે	$3.$ $4$
$S.$ $\frac{\int_{-1/2}^{1/2} \cos 2x \log(\frac{1+x}{1-x}) dx}{\int_0^{1/2} \cos 2x \log(\frac{1+x}{1-x}) dx}$ બરાબર છે	$4.$ $0$

જો $n(2n+1) \int_{0}^{1}(1-x^n)^{2n} dx = 1177 \int_{0}^{1}(1-x^n)^{2n+1} dx$ હોય,તો $n \in N$ ની કિંમત $\dots\dots$ છે.

Similar Questions

જો $f(x) = A \sin \left( \frac{\pi x}{2} \right) + B$,$f'(1/2) = \sqrt{2}$ અને $\int_{0}^{1} f(x) dx = \frac{2A}{\pi}$ હોય,તો અચળાંકો $A$ અને $B$ અનુક્રમે શોધો.

જો $\int_0^{2 \pi}\left(\sin ^4 x+\cos ^4 x\right) d x=K \int_0^\pi \sin ^2 x d x+L \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos ^2 x d x$ અને $K, L \in N$ હોય,તો શક્ય ક્રમયુક્ત જોડીઓ $(K, L)$ ની સંખ્યા કેટલી છે?

એક સતત અને વિકલનીય વિધેય $f$ એ શરત $\int_{0}^{x} f(t) dt = f^2(x) - 1$ ને તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે સંતોષે છે. તો:

ધારો કે $a, b, c$ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે જેથી $\int_0^1 {(1 + \cos^8 x)(ax^2 + bx + c) \, dx} = \int_0^2 {(1 + \cos^8 x)(ax^2 + bx + c) \, dx}$. તો દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ને:

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module