यदि f(x) = begin{cases} frac{x ln(cos x)}{ln( | vedclass

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Question

(C) $x = 0$ पर सांतत्य की जाँच करने के लिए,हम $\lim_{x 	o 0} f(x)$ का मान ज्ञात करते हैं।$\lim_{x 	o 0} \frac{x \ln(\cos x)}{\ln(1 + x^2)} = \lim_{x

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$f$,$x = 0$ पर अवकलनीय है

Vedclass · Answer

(C) $x = 0$ पर सांतत्य की जाँच करने के लिए,हम $\lim_{x 	o 0} f(x)$ का मान ज्ञात करते हैं।$\lim_{x 	o 0} \frac{x \ln(\cos x)}{\ln(1 + x^2)} = \lim_{x 	o 0} \frac{x \ln(1 + (\cos x - 1))}{\ln(1 + x^2)}$.मानक सीमा $\ln(1 + u) \approx u$ का उपयोग करते हुए,जब $u 	o 0$:$\lim_{x 	o 0} \frac{x(\cos x - 1)}{x^2} = \lim_{x 	o 0} \frac{-\frac{x^2}{2}}{x} = \lim_{x 	o 0} -\frac{x}{2} = 0$.चूँकि $\lim_{x 	o 0} f(x) = f(0) = 0$,इसलिए $f$,$x = 0$ पर संतत है।अवकलनीयता की जाँच करने के लिए,$f'(0) = \lim_{h 	o 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h 	o 0} \frac{h \ln(\cos h)}{h \ln(1 + h^2)} = \lim_{h 	o 0} \frac{\ln(\cos h)}{\ln(1 + h^2)}$ ज्ञात करते हैं।$\ln(\cos h) \approx \ln(1 - \frac{h^2}{2}) \approx -\frac{h^2}{2}$ और $\ln(1 + h^2) \approx h^2$ का उपयोग करते हुए:$f'(0) = \lim_{h 	o 0} \frac{-\frac{h^2}{2}}{h^2} = -\frac{1}{2}$.चूँकि सीमा का अस्तित्व है,इसलिए $f$,$x = 0$ पर अवकलनीय है।

यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{x \ln(\cos x)}{\ln(1 + x^2)} & x \neq 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases}$ है,तो:

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यदि $f(x) = \begin{cases} 1, & x < 0 \\ 1 + \sin x, & 0 \le x < \frac{\pi}{2} \end{cases}$ है,तो $f'(0) = $

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$f(x) = \cos^{-1}(2x^2 - 1)$ बिंदु $x = a$ पर अवकलनीय नहीं है,तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए।

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