f(x) = cos^{-1}(2x^2 - 1) बिंदु x = a पर अवकल | vedclass

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Question

(C) फलन $f(x) = \cos^{-1}(2x^2 - 1)$ दिया गया है।हम जानते हैं कि $\cos^{-1}(\cos 	heta) = 	heta$ जहाँ $	heta \in [0, \pi]$ होता है।माना $x = \cos \

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(C) फलन $f(x) = \cos^{-1}(2x^2 - 1)$ दिया गया है।हम जानते हैं कि $\cos^{-1}(\cos 	heta) = 	heta$ जहाँ $	heta \in [0, \pi]$ होता है।माना $x = \cos 	heta$,तो $2x^2 - 1 = 2\cos^2 	heta - 1 = \cos(2	heta)$.अतः,$f(x) = \cos^{-1}(\cos(2	heta)) = 2	heta = 2\cos^{-1}(x)$ जब $x \in [0, 1]$.$x \in [-1, 0]$ के लिए,फलन $f(x) = 2\cos^{-1}|x|$ के रूप में प्राप्त होता है।$\cos^{-1}(x)$ का अवकलन $\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$ होता है।फलन $f(x)$ वहाँ अवकलनीय नहीं है जहाँ फलन का मान अपने अंतिम बिंदुओं पर पहुँचता है,यानी $2x^2 - 1 = 1$ या $2x^2 - 1 = -1$.$2x^2 = 2 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$.इसके अतिरिक्त,$x = 0$ पर फलन $f(x) = 2\cos^{-1}|x|$ में एक तीक्ष्ण मोड़ (cusp) है क्योंकि बायाँ अवकलज और दायाँ अवकलज समान नहीं हैं।$x = 0$ पर,बायाँ अवकलज $2$ है और दायाँ अवकलज $-2$ है।अतः,फलन $x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है।

$f(x) = \cos^{-1}(2x^2 - 1)$ बिंदु $x = a$ पर अवकलनीय नहीं है,तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $f(x) = \max(|2-x|, 2-x^3)$ जहाँ $x \in R$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

यदि फलन $f: R \rightarrow R$, जो $f(x) = \begin{cases} 5-3x, & \text{यदि } x \leq \frac{5}{3} \\ x^2-3x+20, & \text{यदि } x > \frac{5}{3} \end{cases}$ द्वारा परिभाषित है, तो $f$ है

यदि फलन $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{|x|} & , |x| \geq 2 \\ ax^2 + 2b & , |x| < 2 \end{cases}$ पर $\mathbb{R}$ अवकलनीय है,तो $48(a+b)$ का मान . . . . . . है।

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