यदि f एक वास्तविक मान वाला अवकलनीय फलन है जो | vedclass

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Question

(D) दी गई शर्त $|f(x) - f(y)| \le (x - y)^2$ है,जहाँ $x, y \in R$ है।दोनों पक्षों को $|x - y|$ से विभाजित करने पर (जहाँ $x 
eq y$):$\left| \frac{f(x)

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(D) दी गई शर्त $|f(x) - f(y)| \le (x - y)^2$ है,जहाँ $x, y \in R$ है।दोनों पक्षों को $|x - y|$ से विभाजित करने पर (जहाँ $x 
eq y$):$\left| \frac{f(x) - f(y)}{x - y} ight| \le |x - y|$दोनों पक्षों में $x 	o y$ की सीमा लेने पर:$\lim_{x 	o y} \left| \frac{f(x) - f(y)}{x - y} ight| \le \lim_{x 	o y} |x - y|$यह दर्शाता है कि $|f'(y)| \le 0$ है।चूँकि मापांक कभी ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए $|f'(y)| = 0$ होगा,जिसका अर्थ है कि सभी $y \in R$ के लिए $f'(y) = 0$ है।यदि किसी फलन का अवकलज हर जगह शून्य है,तो वह फलन एक अचर फलन होता है।अतः,$f(x) = C$ जहाँ $C$ एक अचर है।दिया गया है कि $f(0) = 0$,इसलिए $C = 0$ है।इस प्रकार,सभी $x \in R$ के लिए $f(x) = 0$ है।अतः,$f(1) = 0$।

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यदि $f(x) = [x]$ है,जहाँ $[x]$,$x$ से बड़ा न होने वाला महत्तम पूर्णांक है,तो $f^{\prime}(1^{+}) = \dots$.

यदि $f(x) = |x|,$ है,तो $f'(0) = $

यदि फलन $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{|x|} & , |x| \geq 2 \\ ax^2 + 2b & , |x| < 2 \end{cases}$ पर $\mathbb{R}$ अवकलनीय है,तो $48(a+b)$ का मान . . . . . . है।

मान लीजिए $S = \{t \in R \mid f(x) = |x - \pi|(e^{|x|} - 1) \sin |x| \text{ बिंदु } t \text{ पर अवकलनीय नहीं है}\}$. तो $S$ है

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