मान लीजिए R सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय | vedclass

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Question

(C) सबसे पहले,$x=0$ पर अवकलनीयता की जाँच करें: $f'(0) = \lim_{h 	o 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h 	o 0} \frac{2-2h^2-h^2 \sin(1/h) - 2}{h} = \li

Vedclass · Accepted Answer

किसी भी धनात्मक वास्तविक संख्या $\delta$ के लिए,फलन $f$ अंतराल $(-\delta, 0)$ पर एक वर्धमान फलन नहीं है

Vedclass · Answer

(C) सबसे पहले,$x=0$ पर अवकलनीयता की जाँच करें: $f'(0) = \lim_{h 	o 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h 	o 0} \frac{2-2h^2-h^2 \sin(1/h) - 2}{h} = \lim_{h 	o 0} (-2h - h \sin(1/h)) = 0$. चूंकि सीमा का अस्तित्व है,$f$,$x=0$ पर अवकलनीय है। अतः,$(A)$ गलत है। $x 
eq 0$ के लिए,$f'(x) = -4x - 2x \sin(1/x) + \cos(1/x)$. जैसे $x 	o 0$,$\cos(1/x)$ पद के कारण $f'(x)$ दोलन करता है। किसी भी $\delta > 0$ के लिए,अंतराल $(0, \delta)$ या $(-\delta, 0)$ में,$f'(x)$ धनात्मक और ऋणात्मक दोनों मान लेता है क्योंकि $\cos(1/x)$,$-1$ और $1$ के बीच दोलन करता है। इसलिए,$f$ किसी भी अंतराल $(0, \delta)$ या $(-\delta, 0)$ पर न तो वर्धमान है और न ही ह्रासमान। यह $(B)$ को गलत और $(C)$ को सही बनाता है। अंत में,$f(0)=2$ और छोटे $h 
eq 0$ के लिए,$f(h) = 2 - h^2(2 + \sin(1/h)) < 2$. अतः,$x=0$ स्थानीय उच्चिष्ठ का बिंदु है,जिससे $(D)$ गलत हो जाता है।

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मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ इस प्रकार दिया गया है $f(x) = \begin{cases} 1, & \text{यदि } x=1 \\ e^{(x^{10}-1)} + (x-1)^2 \sin \frac{1}{x-1}, & \text{यदि } x \neq 1 \end{cases}$। तो:

फलन $f(x) = \max \{a-x, a+x, b\}$ के लिए $-\infty < x < \infty$ और $0 < a < b$ हो, तो उन बिंदुओं की संख्या ज्ञात कीजिए जहाँ फलन अवकलनीय नहीं है।

$(0, 2\pi)$ में $f(x) = \min \{ |\sin x|, |\cos x|, \frac{1}{4} \}$ के अवकलनीयता न होने वाले बिंदुओं की कुल संख्या क्या है?

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